Dadas as medidas 8 cm, 90 mm e 7 cm é possível construir um triângulo? Justifique a sua resposta através dos cálculos da desigualdade triangular.
Soluções para a tarefa
A condição de existência de um triângulo é um conjunto de relações entre as medidas de seus lados que possibilitam decidir se, com as medidas propostas, é possível construí-lo. Essa condição pode ser vista como uma propriedade e é conhecida como desigualdade triangular.
Condição de existência de um triângulo
Dados três segmentos de reta distintos, se a soma das medidas de dois deles é sempre maior que a medida do terceiro, então, eles podem formar um triângulo. Por exemplo, dados os segmentos AB = 16 cm, CD = 20 cm e EF = 30 cm, é possível usá-los para construir um triângulo, pois as somas abaixo são verdadeiras:
16 + 20 = 36 > 30
16 + 30 = 46 > 20
30 + 20 = 50 > 16
Observe o triângulo que foi formado com esses três segmentos na figura a seguir:
Exemplo da condição de existência
Se a soma entre os dois lados é igual ao terceiro, esse triângulonão pode existir. Além disso, as três desigualdades acima são conhecidas como desigualdade triangular.
Não é necessário fazer as três somas para verificar a possibilidade de um triângulo existir. Basta fazer a soma entre os dois lados menores. Se a soma entre eles for maior que o terceiro lado, então, a soma entre qualquer um deles e o terceiro lado (que é o maior) terá o mesmo resultado.
Exemplo: Um senhor deseja cercar um terreno triangular que possui e discute em uma loja que as dimensões do terreno são: 20 m x 15m x 5 m. Esse senhor mediu corretamente seu terreno?
A resposta é não. Como o terreno é triangular, se as medidas estivessem corretas, seria possível formar um triângulo. Entretanto, essas medidas não cumprem a desigualdade triangular:
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20 + 15 = 35 > 5
20 + 5 = 30 > 15
15 + 5 = 20
Fundamentos da condição de existência
Suponha que uma pessoa queira demarcar uma parte de um terreno e possua apenas três varetas para isso. Ela resolve, então, que a marcação terá formato triangular e que os lados desse triângulo terão o mesmo comprimento das varetas. Sabendo que elas medem 2 metros, 3 metros e 4 metros, será possível construir esse triângulo?
A imagem a seguir foi feita para resolver esse problema e representa a fixação da vareta de 4 metros como base do triângulo. As extremidades das outras varetas foram presas às extremidades da base do triângulo e, em seguida, giradas as duas varetas a fim de que elas se encontrassem, como representado no esquema a seguir:
Fundamentos da condição de existência de um triângulo
Para enxergar se as extremidades livres das varetas encontram-se de modo que o triângulo seja formado, observe a imagem abaixo, que contém a trajetória dessas extremidades.
Trajetória de segmentos que não formam um triângulo
As extremidades das varetas encontram-se no ponto A.
Imagine também a mesma situação anterior, só que com varetas medindo 5 metros, 1 metro e 2 metros. A trajetória das varetas é igual à imagem a seguir:
Trajetórias dos segmentos de reta
Na imagem acima, perceba que não existe possibilidade de fechar o triângulo com varetas que possuem essas medidas. Tendo em vista essas possibilidades, foi criada a noção de desigualdade triangular.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Desigualdade triangular: condição necessária para a existência de um triângulo
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