Question

Dadas as funções f(x) e g(x) abaixo, a alternativa que corresponde a continuidade dessas funções em seu domínio, respectivamente, é:

Escolha uma:
a. descontínua, contínua
b. descontínua, descontínua
c. contínua, contínua
d. contínua, descontínua
e. n.d.a.

Answer 1

Definição de continuidade

Dizemos que uma função f(x) é contínua em x=a quando:

$\mathtt{f(a)}$ está definida✅

$\mathtt{\lim_{x~\to~a}f(x)}$ existe✅

$\mathtt{\lim_{x~\to~a}f(x)=f(a)}$✅

Vamos verificar a continuidade em x=2 para f(x)

$\mathtt{f(2)=3}$ ✅

Vamos analisar o limite pela direita:

$\mathtt{\lim_{x \to~{2}^{+}}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}$

$\mathtt{\lim_{x \to~2}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}\\\mathtt{\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}}\\\mathtt{\lim_{x \to~2}x+2=4}$

Vamos analisar o limite pela esquerda:

$\mathtt{\lim_{x \to~{2}^{-}}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}$

$\mathtt{\lim_{x \to~2}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}\\\mathtt{\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}}\\\mathtt{\lim_{x \to~2}x+2=4}$

$\mathtt{lim_{x \to {2}^{+}}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}=\mathtt{\lim_{x \to {2}^{-}}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}$

Portanto

$\mathtt{\lim_{x \to 2}f(x)=4}$ ✅

Mas

$\mathtt{\lim_{x \to 2}f(2)\ne\,f(2)}$

Portanto f(x) não é contínua em x=2.

Vamos analisar a continuidade em x=2 para g(x).

$\mathtt{g(2)=4}$ ✅

Vamos analisar o limite pela direita :

$\mathtt{\lim_{x \to~{2}^{+}}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}$

$\mathtt{\lim_{x \to~2}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}\\\mathtt{\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}}\\\mathtt{\lim_{x \to~2}x+2=4}$

Vamos analisar o limite pela esquerda:

$\mathtt{\lim_{x \to~{2}^{-}}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}$

$\mathtt{\lim_{x \to~2}\dfrac{{x}^{2}-4}{x-2}}\\\mathtt{\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}}\\\mathtt{\lim_{x \to~2}x+2=4}$

Portanto

$\mathtt{\lim_{x \to~{2}^{+}}g(x)}=\mathtt{\lim_{x \to~{2}^{-}}g(x)}=\mathtt{4}$✅

Por fim

$\mathtt{\lim_{x \to~2}g(x)=g(2)}$✅

Portanto g(x) é contínua em x=2

$\mathtt{Alternativa~a}$