Question

Dadas as equações cartesianas das retas r : (n+1)x+4y = 5 e s : 2x+(n−1)y = c.
Encontre as equações paramétricas das retas r e s respetivamente e determine os valores de n e c tal que as retas sejam coincidentes.

Answer 1

É impossível encontrar valor de n que torne essas retas coincidentes.

Para a reta r:

$x=t$

$y=\dfrac{5-(n+1)t}{4}$

Para a reta r:

$x=t$

$y=\dfrac{c-2t}{n-1}$

Vamos primeiro determinar os valores de n e de c de forma que essas retas sejam paralelas (caso for possível)

Da reta r temos que

$(n+1)x+4y=5\\4y=5-(n+1)\\y=\dfrac{5-(n+1)}{4}$

Da reta s temos que

$2x+(n-1)y=c\\(n-1)y=c-2x\\y=\dfrac{c-2x}{n-1}$

Para que as duas equações sejam coincidentes, precisamos que as duas equações sejam iguais.

Portanto, teremos que c=5 e que

$(n+1)=2\\(n-1)=4$

Nao existe nenhum número real n tal que, ao mesmo tempo, n<2 e n>4.

Logo, é impossível essas retas serem iguais.

A parametrização de uma equação é escrever as variáveis x e y em termos de um parâmetro t.

Para equações da reta, uma forma fácil de se escrever a parametrização de $y=ax+b$ é escrever x igual à variável independente $x=t$ e y igual a f(x), só que substituindo X por t.

$y=f(x) =ax+b=at+b$

Observe que não existe uma forma única de representar uma equação paramétrica.

Também poderíamos ter feito $ax=t$ e $y-b=t$.

O que importa é separar x e y em duas equações distintas ligadas pelo mesmo parâmetro t.

Podemos escrever a parametrização das duas retas pela forma mais simples:

Para a reta r:

$x=t$

$y=\dfrac{5-(n+1)t}{4}$

Para a reta r:

$x=t$

$y=\dfrac{c-2t}{n-1}$