Matemática, perguntado por gsantos101, 8 meses atrás

Dadas as circunferências λ e σ, de equações: λ: x² + y² = 9 e σ: (x - 7)² + y² = 16. Verifique a posição relativa entre elas.

A. concêntricas
B. internas
C. secantes
D. externas
E. tangentes

Soluções para a tarefa

Respondido por DuarteBianca0

A questão é sobre posição relativa entre duas circunferências. Note que as circunferências apresentadas no problema são tangentes, o que corresponde a alternativa e).

❑ Equação da circunferência

$\boxed{(x - xc)^{2} +(y - yc)^{2} = R^{2} }$

Sendo:

x e y: coordenadas de um ponto qualquer

xc e yc; coordenadas do centro da circunferência

R: raio da circunferência

❑ Posição relativa

Considere d como a distância entre os centros das circunferências e R como o raio de cada uma.

As circunferências são:

⟐ Externas

Se: d > Rλ + Rσ

⟐ Tangentes externas

Se $d = | R\sigma+ R\lambda|$

⟐Tangentes internas

Se $d = | R\sigma- R\lambda|$

⟐ Secantes

Se $R\sigma- R\lambda< d < R\sigma+ R\lambda$

⟐ Internas

Se $0 \le d <| R\sigma- R\lambda|$

❑ Fórmula da distância entre dois pontos

$\boxed{d = \sqrt{(xb-xa)^{2} + (yb-ya)^{2} }}$

Sendo:

A (xA, yA)

B (xB, yB)

❑ Resolução

De forma resumida, iremos encontrar as coordenadas dos centros e os raios de cada circunferência. Depois, iremos calcular a distância entre os centros da circunferência. Após, usaremos essa distância para perceber qual a posição relativa, mediante os critérios apresentados no tópico anterior.

➯ Passo 1: encontrar os raios das circunferências

Em λ:

Temos a equação x² + y² = 9

Perceba, então, que:

Rλ² = 9.

Rλ= $\sqrt{9}$

$\boxed{R\lambda=3}$

Em σ:

Temos a equação:

(x - 7)² + y² = 16.

Perceba que:

Rσ² = 16

Rσ = $\sqrt{16}$

$\boxed{R\sigma=4}$

➯ Passo 2: Encontrar as coordenadas dos centros

Em λ:

Temos a equação:

x² + y² = 9

Podemos reescrevê-la como:

(x - 0)² + (y - 0)² = 9

Compare com esse modelo:

(x - xc)² + (y - yc)² = R²

Note, então que xc = 0 e yc = 0. Portanto, as coordenadas do centro C da circunferência são:

$\boxed{C \lambda (0,0)}$

Em σ:

Temos a equação:

(x - 7)² + y² = 16

Podemos reescrevê-la como:

(x - 7)² + (y - 0)² = 16

Compare com esse modelo:

(x - xc)² + (y - yc)² = R²

Note, então, que xc = 7 e yc = 0. Portanto, as coordenadas do centro C da circunferência são:

$\boxed{C \sigma (7,0)}$

➯ Passo 3: Calcular a distância entre os centros

Temos os pontos:

$C \lambda (0,0)$

$C \sigma (7,0)$

Usando a fórmula da distância entre 2 pontos:

$d = \sqrt{(x\sigma-x\lambda)^{2} + (y\sigma-y\lambda)^{2} }$

Substituindo os valores dados:

$d = \sqrt{(7-0)^{2} + (0-0)^{2} }$

$d = \sqrt{(7)^{2} }$

$\boxed{d = 7}$

➯ Passo 4: comparar distância com operações com raios e descobrir a posição relativa

Note que os raios são:

$R\lambda=3$

$R\sigma=4$

E a distância:

$d = 7$

De cara, percebemos que:

d = | Rλ + Rσ |

d = | 3 + 4 |

d = |7|

d = 7

Ou seja, a distância é igual ao módulo da soma dos raios. Portanto, as circunferências são tangentes (tangentes externas, na verdade). Caso você não visse isso de imediato, era só ir testando os possíveis casos até algum se encaixar com a situação do problema.