Question

Dada uma circunferência λ com equação (x – 2)2y – 1)2 = 4, e a reta r de equação y = x + 1, determine a posição relativa entre r e λ , determinando seus pontos comuns se existirem.

Answer 1

Boa tarde Darlene!


Solução!


Para resolver esse exercício temos que primeiro determinar o centro da circunferência,em seguida adotar as seguintes condições matemática.


$d\ \textgreater \ r~~\Rightarrow~~A ~~reta~e\´~~externa~~a~~circunf\^erencia.$


$d=r~~\Rightarrow~~A ~~reta~e\´~~tangente~~a~~circunf\^erencia.$


$d\ \textless \ r~~\Rightarrow~~A ~~reta~e\´~~secante~~a~~circunf\^erencia.$

Como a circunferência esta na forma reduzida.


$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4\\\\\\\ r= \sqrt{4}\\\\\ r=2$

$C(2,1)$


Agora vamos calcular a distancia do centro ate a reta e comparar as distancias.


$d(C,r)= \dfrac{ax+by+c}{ \sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\\\\\\ r:~~y=x+1\\\\\\\ r:~~-x+y-1=0\\\\\\ r:~~1x-1y+1=0\\\\\ C(2,1) \\\\\\\ d(C,r)= \dfrac{1.2+1.(-1)+1}{ \sqrt{2^{2}+1^{2}}}\\\\\\\ d(C,r)= \dfrac{2 -1+1}{ \sqrt{4+1}}\\\\\\\ d(C,r)= \dfrac{2}{ \sqrt{5}}\\\\\\\ Racionalizando~~o~~denominador~~resulta.\\\\\\ d(C,r)= \dfrac{2 \sqrt{5} }{5}=0,89\\\\\\ Comparando~~com~~o ~~raio!\\\\\\ 0,89\ \textless \ 2$


$\boxer{A~~reta~~e\´~~secante}$


Como a reta é secante então temos dois pontos comuns fazendo a $r\cap \pi$ 



$(x-2)^{2}+(y-1)^{2} =4\\\\\\\ r:y=x+1\\\\\\\ (x-2)^{2}+(x+1-1)^{2} =4\\\\\\\ (x-2)^{2}+(x)^{2} =4\\\\\\\ x^{2} -4x+4+ x^{2} =4\\\\\\ 2 x^{2} -4x=4-4\\\\\\ 2 x^{2} -4x=0\\\\\\ x(2x-4)=0\\\\\ \boxed{x=0}\\\\\\ 2x-4=0\\\\\\ 2x=4\\\\\\ x= \dfrac{4}{2}\\\\\\ \boxed{x=2}$



$y=x+1\\\\\ y=0+1\\\\\ \boxed{y=1}\\\\\\\\ y=x+1\\\\\\ y=2+1\\\\\\ \boxed{y=3}$


Pontos comuns ou pontos de intersecção.



$P_{1}(0,1)\\\\\\ P_{2}(2,,3)$


 Dá uma olhada no gráfico,vai ajudar a compreender melhor.


Boa noite!
Bons estudos!