Question

'Dada as equações das circunferências...' ajudem me, pleaseee​

Answer 1

Resposta: Possuem 2 pontos em comum, ou seja, são circunferências secantes entre si

Explicação passo-a-passo:

Nesse tipo de questão, para determinar a existência ou não de pontos em comum, é necessário resolver o sistema de equações.

eq A = x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0

eq B = x^2 + y^2 - 2x -6y + 1 = 0

Para eliminar x^2 e y^2, é necessário subtrair uma equação da outra.

x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0

(-) x^2 + y^2 - 2x -6y + 1 = 0

=

0 + 0 -2x -2y - 6 = 0

-2x -2y -6 = 0

x+ y = 3

y = 3 - x

Agora, é necessário substituir y em alguma das equações fornecidas

Substituindo na eq A, fica:

x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0

x^2 + (3-x)^2 - 4x - 8(3-x) - 5 = 0

x^2 + 9 -6x + x^2 - 4x -24 + 8x -5 = 0

2x^2 -2x -20 = 0

x^2 - x - 10 = 0

Resultou em uma equação do segundo grau

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:

Δ = 1 - 4(1)(-10)

Δ = 41

x = (1 ± √41)/2

x' = (1 + √41)/2

y' = 3 - x'

y' = 3 - (1 + √41)/2

y' = 2.5 - √41)/2

x'' = (1 - √41)/2

y'' = 3 - x''

y'' = 3 - (1 - √41)/2

y'' = 2.5 + √41)/2

Portanto, as circunferências são secantes (2 pontos em comum) nos pontos:

P' = ( (1 + √41)/2 , 2.5 - √41)/2 )

P'' = ( (1 - √41)/2 , 2.5 + √41)/2 )

Obs: A questão não exigia saber quais pontos eram, mas apenas se eles existiam

A resposta poderia ser dada apenas analisando o valor de Δ

Δ < 0 → não há pontos em comum

Δ > 0 → há somente 2 pontos em comum

Δ = 0 → há somente 1 ponto em comum

E se o sistema possuísse infinitas soluções, as circunferências seriam iguais, possuindo infinitos pontos em comum