Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum.
Soluções para a tarefa
Resposta:
A circunferência λ2, está dentro da circunferência λ1
Não têm pontos comuns.
Explicação passo a passo:
Uma maneira de responder seria através da representação gráfica, se no
exame tivesse acesso a calculadora.
Por isso vamos fazer cálculos algébricos
As equações aqui estão na forma de Equações Gerais de cada circunferência.
Vamos as passar para as Equações Reduzidas e analisar depois.
Observação 1 → Equação Reduzida da circunferência
É da forma:
( x - a )² + ( y - b )² = r ²
( a; b ) coordenadas do centro e r = raio
Início de cálculos
λ1 :
x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0
x² - 4x + y² - 8y - 5 = 0
( x² - 4x + ( - 4/2 )² ) + ( y² - 8y + ( - 8/2)² ) - 5 - ( - 4/2 )² - ( - 8/2)² = 0
( x² - 4x + 4 ) + ( y² - 8y + 16 ) - 5 - 4 - 16 = 0
( x - 2 )² + ( y - 4 )² - 25 = 0
( x - 2 )² + ( y - 4 )² = 25
( x - 2 )² + ( y - 4 )² = 5²
Já está na forma reduzida.
Ficamos a saber que o centro C1 ( 2 ; 4 ) e o raio = 5
Agora a outra Circunferência
λ2 :
x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0
( x² - 2x + ( -2 /2 )² ) + ( y² - 6y + (- 6/2 )² ) + 1 - ( -2 /2 )² - (- 6/2 )² = 0
( x² - 2x + 1² ) + ( y² - 6y + 3² ) + 1 - 1 - 9 = 0
( x - 1 )² + ( y - 3 )² = 9
( x - 1 )² + ( y - 3 )² = 3²
Ficamos a saber que o centro C2 ( 1 ; 3 ) e o raio = 3
Repare agora no seguinte:
A circunferência λ1 tem centro ( 2 ; 4 ) e raio 5
A circunferência λ2 tem centro ( 1 ; 3 ) e raio 3
Interpretação dos resultados
1º Passo
O ponto de coordenadas ( 1 ; 3 ) está dentro da zona compreendida
entre o ponto ( 2 ; 4 ) e os eixos do x e do y.
( no gráfico em anexo vai ver isso melhor )
2º Passo
Distância entre os centros de cada circunferência
Distância² = ( 3 - 4 )² + ( 1 - 2 )² = ( - 1 )² + ( - 1 )² = 2
Distância entre os centros das circunferências = √2 = 1, 41
3º Análise final
Raio de λ1 = 5
Distância entre os centros é 1,41
O raio da circunferência λ2 é 3
1,41 + 3 = 4,41
Raio de λ1 = 5 , é maior que 4,41
A circunferência λ2, está dentro da circunferência λ1.
Não têm pontos comuns.
Fim dos cálculos.
Bons estudos.
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( / ) dividir ( C1 ) centro da circunferência λ1
( C2) centro da circunferência λ2
