Question

Dada as circunferencias
Lambda: x^2+y^2-2x-3=0 e
Lambda :x^2+y^2+2x-4y+1=0
Determine a posição relativa entre elas

Answer 1

Para descobrir a posição relativa entre essas circunferências, devemos manipular as equações fornecidas de modo a encontrar a distância entre seus centros, comparando com o auxílio das medidas dos raios.

• Manipulando a primeira equação

Temos a seguinte expressão:

$x^2+y^2-2x-3=0$

Isolando o termo independente:

$x^2-2x+y^2=3$

Somando 1 nos dois lados da equação:

$x^2-2x+1+y^2=3+1$

Adaptando o quadrado perfeito:

$(x-1)^2+y^2=4$

Logo, a posição do centro é (1, 0), e o raio vale 2 (A raiz de 4).

• Manipulando a segunda equação

Temos a expressão:

$x^2+y^2+2x-4y+1=0$

Isolando o termo independente e somando os valores necessários aos dois lados da equação:

$x^2+2x+1+y^2-4y+4=-1+1+4$

$(x+1)^2+(y-2)^2=4$

Logo, o centro está em (-1, 2), e o raio também vale 2.

• Distância entre os centros

Utilizando a fórmula da distância entre pontos:

$d^2=[1-(-1)]^2+(0-2)^2$

$d^2=4+4$

$d=\sqrt{8}$

$d=2\sqrt{2}$

$\boxed{d\approx 2,8}$

• Posição relativa

A distância entre os centros é maior que a subtração entre os raios, mas é menor que a soma das medidas dos raios:

$R-r<d<R+r$

$2-2<2,8<2+2$

$0<2,8<4$

O que caracteriza um sistema de circunferências secantes.

• Resposta

As circunferências retratadas são secantes.

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