Question

Dada a sequencia, $x = \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2\sqrt{...}}}$. Qual o valor de $x$?

Answer 1

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$

Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

$x^{2}=\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}\right)^{2}\\\\x^{2}=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}$

Sabemos que $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}$ é x, então:

$x^{2}=2+x\\x^{2}-x-2=0$

Resolvendo a equação por soma e produto:

$S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-1)}{1}=1~~~~~~~~~~~P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{1}=-2$

Raízes: 2 números que quando somados dão 1 e quando multiplicados dão -2:

$x'=1\\x''=-2$

Como, no exercício, percebemos que x > 0:

$\boxed{\boxed{x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=2}}$