Question

Dada a sequência $X_{n} = \frac{n}{4n +2} ,$ faça o que se pede:
a) Determine os três primeiros termos da sequência.
b) Mostre que ela é monótona .
c) Mostre que ela é limitada superiormente e inferiormente.
d) A sequência converge? Justifique.

Answer 1

Sequência numérica:

$\mathtt{x_n=\dfrac{n}{4n+2}}\quad\quad\texttt{onde }\mathtt{n=1,\,2,\,3,\,\ldots}$

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a) Os primeiros termos são obtidos substituindo:

•  1º termo. Para $\mathtt{n=1}:$

$\mathtt{x_1=\dfrac{1}{4\cdot 1+2}}\\\\\\ \mathtt{x_1=\dfrac{1}{4+2}}\\\\\\ \mathtt{x_1=\dfrac{1}{6}}$


•  2º termo. Para $\mathtt{n=2}:$

$\mathtt{x_2=\dfrac{2}{4\cdot 2+2}}\\\\\\ \mathtt{x_2=\dfrac{2}{8+2}}\\\\\\ \mathtt{x_2=\dfrac{2}{10}}\\\\\\ \mathtt{x_2=\dfrac{1}{5}}$


•  3º termo. Para $\mathtt{n=3}:$

$\mathtt{x_3=\dfrac{3}{4\cdot 3+2}}\\\\\\ \mathtt{x_3=\dfrac{3}{12+2}}\\\\\\ \mathtt{x_3=\dfrac{3}{14}}$


•  4º termo. Para $\mathtt{n=4}:$

$\mathtt{x_4=\dfrac{4}{4\cdot 4+2}}\\\\\\ \mathtt{x_4=\dfrac{4}{16+2}}\\\\\\ \mathtt{x_4=\dfrac{4}{18}}\\\\\\ \mathtt{x_4=\dfrac{2}{9}}$

$\vdots$

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b) Para mostrar que a sequência é monótona, vamos tomar a diferença entre dois termos consecutivos:

$\mathtt{x_{k+1}-x_k}\\\\ =\mathtt{\dfrac{k+1}{4(k+1)+2}-\dfrac{k}{4k+2}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{k+1}{4k+4+2}-\dfrac{k}{4k+2}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{k+1}{4k+6}-\dfrac{k}{4k+2}}$


Reduzindo os termos ao mesmo denominador,

$=\mathtt{\dfrac{(k+1)(4k+2)}{(4k+6)(4k+2)}-\dfrac{k(4k+6)}{(4k+6)(4k+2)}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{(k+1)(4k+2)-k(4k+6)}{(4k+6)(4k+2)}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{4k^2+2k+4k+2-4k^2-6k}{(4k+6)(4k+2)}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{4k^2+6k+2-4k^2-6k}{(4k+6)(4k+2)}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{2}{(4k+6)(4k+2)}}\quad\quad\texttt{onde }\mathtt{k=1,\,2,\,3,\,\ldots}$


O que podemos afirmar sobre a expressão acima? Ela é sempre positiva, pois,

para todo $\mathtt{k\in\mathbb{N}^{*},}$

o denominador é o produto de dois naturais não-nulos, logo é positivo,

o numerador é 2, que também é positivo.


Então, temos que o quociente obtido é sempre positivo.

$\mathtt{\dfrac{2}{(4k+6)(4k+2)}}>0\\\\\\ \mathtt{x_{k+1}-x_k}>0\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{x_{k+1}>x_k} \end{array}}\quad\quad\texttt{para todo }\mathtt{k\in\mathbb{N}^{*}}.$


Assim provamos que a sequência é monótona (é sempre crescente).

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c) $\mathtt{x_n=\dfrac{n}{4n+2}}$

A lei de formação da sequência é definida como o quociente entre dois naturais não-nulos.

Logo, ela é limitada inferiormente por 0.

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Observe que é verdade que $\mathtt{n>-\dfrac{2}{3}},$ pois sendo $\mathtt{n}$ natural, ele é maior do que qualquer número negativo.


Então,

$\mathtt{n>-\dfrac{2}{3}}\\\\ \mathtt{3n>-2}\\\\ \mathtt{4n-n>-2}\\\\ \mathtt{4n>-2+n}\\\\ \mathtt{4n+2>n}\quad\quad\texttt{para todo }\mathtt{n\in\mathbb{N}^{*}}$


Como $\mathtt{4n+2}$ é sempre um natural positivo, podemos dividir os dois lados da desigualdade acima por $\mathtt{4n+2},$ mantendo o sentido da desigualdade:

$\mathtt{\dfrac{4n+2}{4n+2}>\dfrac{n}{4n+2}}\\\\\\ \mathtt{1>\dfrac{n}{4n+2}}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{n}{4n+2}<1}\\\\\\ \mathtt{x_n<1}\quad\quad\texttt{para todo }\mathtt{n\in\mathbb{N}^{*}}.$


A sequência também é limitada superiormente por 1.

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d) Há um teorema cujo enunciado diz que se uma sequência numérica é monótona e limitada (superior e inferiormente) então ela é convergente.

Como a sequência em questão satisfaz estas hipóteses, logo ela converge.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)