Question

Dada a seguinte integral tripla;

Answer 1

Integral.

Relembrando um pouco algumas propriedades de integral :

1) Teorema Fundamental do cálculo

$\fbox{\displaystyle \int\limits^a_b {[f(x) + g(x)] } \ dx = [F(x) + G(x)\limites]|^a_b = F(a) + G(a) - [ F(b) + G(b)] }$

2) integral do monômio

$\fbox{\displaystyle \int\limits^a_b {k.x^n } \, dx = \frac{k.x^{(n+1)}}{n+1}|\limits^a_b \to \frac{k.a^{(n+1)}}{n+1} - \frac{k.b^{(n+1)}}{n+1} }$

basicamente só precisaremos lembrar disso para resolvermos, primeiro integramos e depois substituímos os limites de integração, conforme o teorema fundamental do cálculo.

Em integras desse tipo. começamos de dentro para fora.

Nossa integral tripla :

$\fbox{\displaystyle \int\limits^3_0 \, {\int\limits^\sqrt{9-x^2} }_0 {\int\limits^\sqrt{9-x^2}}_0 dz.dy.dx }$

Resolvendo de dentro para fora, vamos pegar a 1ª integral de dentro :

$\fbox{\displaystyle {\int\limits^\sqrt{9-x^2}}_0 dz = z |{\limits^\sqrt{9-x^2}}_0 }$

Substituindo os limites de integração no lugar do z.

$\fbox{\displaystyle z |{\limits^\sqrt{9-x^2}}_0 = \sqrt{9-x^2} - 0 = \sqrt{9-x^2} }$

Fizemos a primeira integral, em relação a z, agora vamos voltar na integral tripla e substituir o valor.

$\fbox{\displaystyle \int\limits^3_0 \, {\int\limits^\sqrt{9-x^2} }_0 \sqrt{9-x^2} . dy.dx }$

Agora é a integral em relação a y, ou seja :

${\displaystyle {\int\limits^\sqrt{9-x^2} }_0 \sqrt{9-x^2} . dy = (\sqrt{9-x^2}).y|\limits^\sqrt{9-x^2}}_0 }$

substituindo os limites de integração :

${\displaystyle (\sqrt{9-x^2}).y|\limits^\sqrt{9-x^2}}_0 = (\sqrt{9-x^2}).(\sqrt{9-x^2}) - 0 = (\sqrt{9-x^2})^2 }$

${\displaystyle (\sqrt{9-x^2}).y|\limits^\sqrt{9-x^2}}_0 = 9 -x^2 }$

agora vamos voltar na integral original e substituir a integral em relação a y.

$\fbox{\displaystyle \int\limits^3_0 \, (9-x^2).dx }$

Por ultimo, vamos integrar em relação a x.

$\fbox{\displaystyle \int\limits^3_0 \, (9-x^2).dx = [9.x - \frac{x^3}{3}]|\limits^3_0 }$

substituindo os limites de integração :

$\fbox{\displaystyle [9.x - \frac{x^3}{3}]|\limits^3_0 = [9.3 - \frac{3^3}{3}] - [9.0 - \frac{0^3}{3}] = [27 - \frac{27}{3}]- [0-0] }$

$\fbox{\displaystyle [9.x - \frac{x^3}{3}]|\limits^3_0 = 27 - 9 = 18 }$

Resolvemos todas integrais, portanto :

$\fbox{\displaystyle \int\limits^3_0 \, {\int\limits^\sqrt{9-x^2} }_0 {\int\limits^\sqrt{9-x^2}}_0 dz.dy.dx = 18 }$

Observação :  

Em integrais duplas/ triplas, é só ir resolvendo de dentro pra fora, integrando em relação à variável indicada, e assim só vai substituindo que dá bom.

Na imagem mostra um exemplo de uma integral tripla.

Qualquer dúvida é só falar.

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