Question

Boa tarde!

Preciso de ajuda, para resolver essa equação exponencial!

$\sqrt{ {5}^{x - 2} } . \sqrt[x]{{ {25}^{2x - 5} } } - \sqrt[2x]{ {5}^{3x + 2 } } = 0$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Isa, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte equação exponencial:

√(5⁽ˣ⁻²⁾) * ˣ√(25⁽²ˣ⁻⁵⁾) - ²ˣ√(5⁽³ˣ⁺²⁾) = 0 ----- veja que 25 = 5². Assim:
√(5⁽ˣ⁻²⁾) * ˣ√((5²)⁽²ˣ⁻⁵) - ²ˣ√(5⁽³ˣ⁺²⁾) = 0  ---- efetuando o produto indicado nos expoentes do fator ˣ√((5²)⁽²ˣ⁻³⁾) teremos:

√(5⁽ˣ⁻²⁾) * ˣ√((5²*⁽²ˣ⁻⁵⁾) - ²ˣ√(5⁽³ˣ⁺²⁾) = 0 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

√(5⁽ˣ⁻²⁾) * ˣ√(5⁽⁴ˣ⁻¹⁰) - ²ˣ√(5⁽³ˣ⁺²⁾) = 0

Agora veja que [lembre-se que:  ᵃ√(nᵇ) = nᵇ/ᵃ]:

√(5⁽ˣ⁻²⁾) = 5⁽ˣ⁻²⁾/²
ˣ√(5⁽⁴ˣ⁻¹⁰) = 5⁽⁴ˣ⁻¹⁰⁾/ˣ
²ˣ√(5⁽³ˣ⁺²⁾) = 5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ

Assim, fazendo as devidas substituições, ficaremos com:

(5⁽ˣ⁻²⁾/²) * (5⁽⁴ˣ⁻¹⁰⁾/ˣ) - (5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ) = 0  ------ Note que nos dois primeiros fatores temos uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

5⁽ˣ⁻²⁾/² ⁺ ⁽⁴ˣ⁻¹⁰⁾/ˣ - 5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ = 0 ---- note que na soma dos expoentes o mmc é igual a 2*x = 2x. Assim, utilizando-o apenas na soma considerada teremos {lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

5⁽ˣ*⁽ˣ⁻²⁾⁺²*⁽⁴ˣ⁻¹⁰⁾⁾/²ˣ - 5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ = 0  --- efetuando os produtos indicados nos expoentes, teremos:

5⁽ˣ²⁻²ˣ⁺⁸ˣ⁻²⁰⁾/²ˣ - 5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes nos expoentes do 1º fator, teremos:

5⁽ˣ²⁺⁶ˣ⁻²⁰⁾/²ˣ - 5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ = 0 ---- agora vamos pôr 5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ em evidência, ficando:

5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ*[(5⁽ˣ²⁺⁶ˣ⁻²⁰⁾/²ˣ)/(5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ) - (5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ)/(5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ)] = 0 --- ou apenas:
5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ*[(5⁽ˣ²⁺⁶ˣ⁻²⁰⁾/²ˣ)/(5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ) - 1] = 0

Note que temos, agora, uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Assim, ficaremos:

5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ*[(5⁽ˣ²⁺⁶ˣ⁻²⁰⁾/²ˣ ⁻ ⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ - 1] = 0 --- dividindo-se ambos os membros por 5⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ iremos ficar apenas com:

[(5⁽ˣ²⁺⁶ˣ⁻²⁰⁾/²ˣ ⁻ ⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ - 1] = 0 --- ou, retirando-se os colchetes:
5⁽ˣ²⁺⁶ˣ⁻²⁰⁾/²ˣ ⁻ ⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ - 1 = 0 ---- passando "-1" para o 2º membro,teremos:
5⁽ˣ²⁺⁶ˣ⁻²⁰⁾/²ˣ ⁻ ⁽³ˣ⁺²⁾/²ˣ = 1 ---- agora vamos efetuar a subtração indicada nos expoentes, com o que ficaremos:

5⁽ˣ²⁺⁶ˣ⁻²⁰⁻³ˣ⁻²⁾/²ˣ = 1 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
5⁽ˣ²⁺³ˣ⁻²²/²ˣ = 1 --- note que o "1" no 2º membro poderá ser substituído por 5⁰, pois todo número diferente de zero, quando está elevado a "0" é igual a "1". Assim, ficaremos com:

5⁽ˣ²⁺³ˣ⁻²²/²ˣ = 5⁰ ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Logo:

(x² + 3x - 22)/2x = 0 ----- se você multiplicar em cruz vamos ficar apenas com:
x² + 3x - 22 = 0 ----- agora se você aplicar Bháskara vai encontrar que as raízes serão estas exatamente:

x' = [-3-√(97)]/2
x'' = [-3+√(97)]/2

Agora note que a raiz x' = [-3-√(97)]/2 dará um número negativo. E como há, na sua expressão original, raiz de índice "x" e de índice "2x", então ela não poderá ser negativa. Em razão disso, ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:

x = [-3+√(97)]/2 <--- Esta deverá ser a resposta, pois é a única que dá um número positivo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.