Question

Dada a seguinte equação $\Large\begin{array}\mathsf{\mathsf{x^{x^x}=2^{-\sqrt{2}}}}\end{array}$ , e sabendo que existe apenas uma única solução, então $\Large\begin{array}\mathsf{\mathsf{x^{-2}}}}\end{array}$ é igual a?



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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Primeiramente irei modificar algebricamente o segundo membro da igualdade para ficar igual ao primeiro, utilizando as diversas propriedades da exponenciação e racionalização.

$2^{-\sqrt{2}}=(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}=(\sqrt{\frac{1}{4}})^{\sqrt{2}}=(\frac{1}{4})^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=(\frac{1}{4})^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=(\frac{1}{4})^{\sqrt{\frac{1}{2}}$

$2^{-\sqrt{2}}=(\frac{1}{4})^{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}}=(\frac{1}{4})^{(\sqrt{\frac{1}{4}})^\frac{1}{2}}=(\frac{1}{4})^{(\frac{1}{4})^\frac{1}{4}}$

$x^{x^x}=2^{-\sqrt{2}$

$x^{x^x}=(\frac{1}{4})^{(\frac{1}{4})^\frac{1}{4}}$

$x=\frac{1}{4}$

$x^{-2}=\frac{1}{4}^{-2}$

$x^{-2}=4^2$

$\boxed{x^{-2}=16}$

Bons estudos! =)

Answer 2

Primeiramente, vamos tentar simplificar ao máximo essa equação, pois envolve tetração.

Algebricamente é impossível isolar x. Então, só nos resta mesmo inspecionar.

$\mathsf{x^{x^x}=2^{-\sqrt{2}}}$

Podemos enxergar x como uma potência de 2. Fazendo uma mudança de variável:

$\mathsf{x=2^y}$

a equação pode ser escrita como

$\mathsf{(2^y)^{(2^y)^{2^y}}=2^{-\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{(2^y)^{2^{(y\cdot 2^y)}}=2^{-\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{2^{y\cdot 2^{(y\cdot 2^y)}}=2^{-\sqrt{2}}}$

Simplificando as exponenciais de mesma base, devemos ter

$\mathsf{y\cdot 2^{y\cdot 2^y}=-\sqrt{2}}\\\\ \mathsf{y\cdot 2^{y\cdot 2^y}=-2^{1/2}}$

Como $\mathsf{2^{y\cdot 2^y}}$ é positivo, e o produto no lado esquerdo é negativo, segue diretamente que

y < 0.

Multiplicando os dois lados por $\mathsf{y^{-1}},$ a equação fica

$\mathsf{2^{y\cdot 2^y}=-y^{-1}\cdot 2^{1/2}}$

Façamos uma nova mudança de variável:

$\mathsf{y=-2^z\qquad (y<0)}$

e a equação fica

$\mathsf{2^{y\cdot 2^y}=-(-2^z)^{-1}\cdot 2^{1/2}}\\\\ \mathsf{2^{y\cdot 2^y}=2^{-z}\cdot 2^{1/2}}\\\\ \mathsf{2^{y\cdot 2^y}=2^{-z+(1/2)}}$

Simplificando as exponenciais de mesma base novamente, devemos ter

$\mathsf{y\cdot 2^y=-z+\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{-2^z\cdot 2^{-2^z}=-z+\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{-2^{z-2^z}=-z+\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{z-\dfrac{1}{2}=2^{z-2^z}}$

de onde segue diretamente que

$\mathsf{z-\dfrac{1}{2}>0\quad\Rightarrow\quad z>\dfrac{1}{2}}$

e inspecionando, vemos que z = 1 é solução para esta equação, relativamente mais fácil de analisar.

$\mathsf{1-\dfrac{1}{2}=2^{1-2^1}}$

Portanto,

$\mathsf{y=-2^z}\\\\ \mathsf{y=-2^1}\\\\ \mathsf{y=-2}\\\\\\ \mathsf{x=2^y}\\\\ \mathsf{x=2^{-2}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1}{4}}$

de modo que

$\mathsf{x^{-2}}\\\\ =\mathsf{\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}}\\\\\\ =\mathsf{4^2}\\\\ =\mathsf{16}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$

Bons estudos! :-)