Question

dada a progressão geométrica (15,75,375,.....) Se a sua soma é 1464840 então ela apresenta quantos termos???
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Answer 1

Usando a definição de progressão geométrica (P.G.) e a fórmula da

soma de "n" termos de uma P.G. finita , obtém-se:

n = 8

Progressões são sequências que têm uma regra comum.

Existem dois tipo de progressões:

• aritméticas → em que todo o termo seguinte menos o anterior dá um valor constante

• geométricas - em que todo o termo seguinte a dividir pelo anterior dá um valor constante

Os termos das progressões são chamados de:

$a_{1}$ → primeiro termo

$a_{2}$ → segundo termo

$a_{3}$ → terceiro termo

e assim por diante.

Descobrir que tipo de progressão é :

75 - 15 = 60

375 - 75 = 300

Não é progressão aritmética, pois um termo menos o anterior não traz

sempre resultados iguais

$\dfrac{a_{2} }{a_{1} } =\dfrac{75}{15} =5\\\\~\\\dfrac{a_{3} }{a_{2} } =\dfrac{375}{75} =5$

É progressão geométrica,  pois um termo a dividir pelo anterior traz

sempre resultado igual.

razão ( q ) → é o nome deste valor que é igual e representa-se por "q"

Numa progressão geométrica finita, portanto tem um número conhecido

de termos, a soma de todos elementos é dado pela fórmula:

$\Large \text{ S_{n}=\dfrac{a_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1} }\\~\\\\\\1~464~840= \dfrac{15\cdot (5^n-1)}{5-1}\\ \\\\\dfrac{1~464~840}{1}= \dfrac{15\cdot (5^n-1)}{4}\\~\\\\4\cdot 1~464~840= 15\cdot (5^n-1)\\~\\\\8~585~360=15\cdot (5^n-1)\\ ~\\\\\dfrac{8~585~360}{15}=\dfrac{15\cdot (5^n-1)}{15}\\~\\\\390~624=5^n-1\\~\\\\390~624+1=5^n\\~\\390~625 = 5^n$

Vamos decompor em fatores primos o primeiro membro.

$390~625\div5=78~125\\~\\78~125 \div5= 15~625\\~\\15~625\div5=3~125\\~\\3~125\div5=625\\~\\625\div5=125\\~\\125\div5=25\\~\\25\div5=5\\~\\5\div5=1 \\~ \\ \\ 390~625=5^8\\~\\5^8=5^n~\\~\\\large \boxed{n=8}$

Observação → Duas potências com a mesma base , são iguais se os

expoentes forem iguais entre si.

Tem 8 termos esta progressão geométrica.

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.