Question

dada a progressão geométrica (1;3;9;27.....) quantos termos foram somados para obter 3 280

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gm, que a resolução é simples.

Pede-se o número de termos da PG (1; 3; 9; 27; ......) para que a soma dos seus termos dê "3.280".
Veja que a PG acima tem o primeiro termo (a₁) igual a "1" e razão (q) igual a "3", pois 27/9 = 9/3 = 3/1 = 3.

Agora note que a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PG é dada por:

Sn = a₁*[qⁿ - 1]/(q-1)

Na fórmula acima "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da PG da sua questão. Como queremos que a soma dê "3.280", então substituiremos "Sn" por "3.280". Por sua vez, "a₁" é o primeiro termo, que substituiremos por "1". Por seu turno "q" é a razão da PG, que substituiremos por "3". Assim, fazendo essas substituições, teremos:

3.280 = 1*[3ⁿ - 1]/(3-1)
3.280= 1*[3ⁿ - 1]/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*3.280 = 1*[3ⁿ - 1] --- efetuando os produtos indicados, ficaremos com:
6.560 = 3ⁿ - 1 ---- vamos passar "-1" para o 1º membro, ficando:
6.560 + 1 = 3ⁿ
6.561 = 3ⁿ ----- vamos apenas inverter, ficando:
3ⁿ = 6.561 ---- agora note que "6.561" = 3⁸ . Assim:
3ⁿ = 3⁸ ---- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:

n = 8 <--- Esta é a resposta. A PG deverá ter 8 termos para que a soma dos seus termos dê "3.280".

Bem, a resposta já está dada. Agora, apenas por mera curiosidade,vamos ver qual será essa PG com os seus 8 termos:

(1; 3; 9; 27; 81; 243; 729; 2.187) <--- Esta seria a PG com os seus 8 termos. E se você quiser ter o trabalho de somar os seus termos vai notar que essa soma dará exatamente "3.280".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.