Question

Dada a parábola y=x^{2} +x+1 :

a. Calcule o vértice da parábola.
b. Calcule o ponto no qual a parábola intercepta o eixo das ordenadas.
c. Verifique se existe intersecção da parábola com o eixo das abscissas.
d. Forneça o conjunto imagem da função

Answer 1

y=x²+x+1  ........a=1,b=1 , c=1
a)
V=(vx,vy)
vx=-b/2a=-1/2
vy=-Δ/4a=-[b²-4ac]/4a=-(1-4)/(4)=3/4

b)  ocorre quando o x=0  ==>y=0²+0+1=1 ponto (0,1)

c)Δ=b²-4ac=1-4 <0  .....Como Δ<0 não corta

d)  a=1>0 , ponto de mínimo, então vy=3/4   é o menor y

Imagem =  [3/4 , +∞)

Answer 2

Olá!
  
    Lembre que a parábola é o gráfico de uma função dada por uma equação do segundo grau. Veja que, na função do enunciado, o discriminante (Delta  $\Delta$  ) é 

$\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4=-3,$

que é negativo. Isso significa que não há valores reais que são raízes da função. Geometricamente quer dizer que a parábola não toca no eixo x (o eixo das abcissas).
  
    As coordenadas do vértice v de uma parábola são dadas por

$v=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right) = \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{-3}{4}\right) = \\ \\ \\ = \left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}\right).$
  
    Ainda, o eixo das ordenadas (eixo y) é tocado quando a primeira coordenada é zero. Ou seja, no ponto p tal que sua coordenada x = 0. Logo,

$y=0+0+1=1\;\text{, isto \'e,}\; p=(0,1).$
 
  
    Note também que, como a parábola tem equação com coeficiente do  $x^2$   positivo, ela tem a forma côncava (com a "boca" para cima). Logo, no ponto do vértice, ela assume seu valor mínimo, isto é, 

$x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)+1 = \dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}+\dfrac{4}{4}=\dfrac{3}{4}.\\ \\ \text{Perceba que \'e no valor do {\bf {y}} do v\'ertice que ela assume o valor m\'{\i}nimo}$

Ou seja, para todos valores maiores que   $\frac{3}{4}$  no eixo y, há um correspondente vindo do eixo x.


Portanto, as respostas são:

a) 

O vértice da parábola é o ponto   $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}\right).$


b)

A parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto   $p=(0,1).$


c)

Não há interseção da parábola com o eixo das abcissas (discriminante negativo).


d) 

O conjunto imagem é

$Im=\left\{y\in\mathbb{R}:y\geqslant \dfrac{4}{3}\right\}.$



Bons estudos!