Dada a PA (−40,−30,−20,…), quantos elementos precisam ser somados a partir do primeiro para que a soma seja igual a 450?
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
PA(-40,-30,-20)
r=A2-A1=-30-(-40)=-30+40=10
An=A1+(n-1)•r
An=-40+(n-1)•10
An=-40-10+10n
An=-50+10n
Sn=(A1+An)n/2
450=[(-40-50+10n)n]/2
450=[(-90+10n)n]/2
450•2=-90n+10n²
900=-90n+10n²/10
90=-9n+n²
n²-9n-90=0
∆=(-9)²-4(1)•(-90)
∆=81+360
∆=441
N1/2=(-b+-√∆)/2•a
N1/2=(-(-9)+-√441)/2•1=(9+-21)/2
N1=(9+21)/2=30/2=15
N2=(9-21)/2=-12/2=-6 Não pertence ao conjunto dos números naturais.
n=15
Devemos somar 15 termos.
Resposta:
Com 15 termos , consecutivos, a soma dá 450
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Dada a PA (−40,−30,−20,…), quantos elementos precisam ser somados a partir do primeiro para que a soma seja igual a 450?
Resolução:
Sabemos que o 1º termo da PA é
a1 = - 40
Precisamos de calcular a razão ( r ), que é dada por um termo menos o anterior.
Peguemos em a2 - a1 ( segundo termo menos primeiro termo)
r = -30 - ( - 40 ) = 10
O que pretendemos é encontrar o número de termos cuja soma dê 450.
Temos uma fórmula para isso:
Sn = [ (a1 + an) * n ] / 2
Verificando o que temos e o que nos falta :
Sn = 450
a1 = - 40
an = ? ( an é o termo geral da PA )
n = ? é o que procuramos para resposta , número de termos que somados dão 450
Cálculo do Termo Geral " an "
Outra fórmula
an = a1 + ( n - 1 ) * r
an = - 40 + ( n - 1 ) * 10
aplicando propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica ( inclui adição e subtração) ( conhecida pelo "chuveirinho" )
an = - 40 + 10n - 10
⇔
an = 10n - 50
Já só nos falta o " n "
Cálculo do n
Sn = [ (a1 + an) * n ] / 2
450 =[ ( - 40 + 10n - 50 ) * n ] /2
⇔
450 = [ ( 10 n - 90 ) * n ] / 2
Multiplicando ambos os membros por 2 , para cancelar o denominador 2 no 2º membro da equação.
⇔
900 = [2 * (10n - 90) * n ] /2
⇔
900 = ( 10n - 90 ) * n
⇔
Novamente propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica
⇔
900 = 10n² - 90n
Passando tudo para 1º membro e
⇔
- 10n² + 90n + 900 = 0
multiplicando tudo por - 1
10n² - 90n - 900 = 0
Simplificando ao dividir todos os termos por 10
⇔
n² - 9n - 90 = 0
Equação do 2º grau
a = 1
b = - 9
c= - 90
∆ = b² - 4* a *c
∆ = ( - 9 )² - 4 * 1 * ( - 90 )
⇔
∆ = 81 + 360 ⇔ ∆ = 441
√Δ = √441 = 21
donde pela fórmula de Bhaskara
n = (- b ± √∆)/2a
n' = ( 9 + 21) / 2 = 30/2 = 15
n'' = (9 - 21) / 2 = -12/2 = - 6
temos que descartar este valor de - 6 para o "n" pois o "n " é sempre positivo, representando um certo números de termos da PA.
n = 15
Assim está encontrado o número de termos que somados dão 450.
Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.