Question

Dada a matriz A=(aij)2x2 tal que aij= i+j, se i=j. 2i-2j , i diferente de j. Encontre o determinante da matriz At.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\det A^t=12}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades sobre determinantes.

Seja a matriz $A=[a_{ij}]_{2\times2}$, tal que $a_{ij}=\begin{cases} i+j,~\bold{se~i=j}\\ 2i-2j,~\bold{se~i\neq j}\\\end{cases}$, devemos determinar o determinante da matriz $A^t$.

Primeiro, devemos determinar a matriz $A$. Para isso, observe a lei de formação, lembre-se que $i$ representa o número da linha e $j$ o número da coluna as quais os elementos se encontram.

A matriz $A$ tem ordem 2, logo ela assume a forma: $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}$. Assim, facilmente podemos ver quais casos devemos utilizar a lei de formação.

Utilizaremos a primeira lei de formação nos elementos da diagonal principal:

$a_{11}=1+1\Rightarrow a_{11}=2\\\\\\ a_{22}=2+2\Rightarrow a_{22}=4$.

Utilizaremos a segunda lei de formação nos elementos da diagonal secundária:

$a_{12}=2\cdot1-2\cdot2\Rightarrow a_{12}=-2\\\\\\ a_{21}=2\cdot2-2\cdot1\Rightarrow a_{21}=2$

Nossa matriz se torna:

$A=\begin{bmatrix}2&-2\\2&4\\\end{bmatrix}$

Para calcularmos o determinante da matriz $A^t$, ou seja, da matriz transposta, lembre-se que $\det A^t=\det A$, logo podemos calcular o determinante da matriz que temos.

Para isso, utilizamos a Regra de Sarrus para matrizes de ordem 2: consiste em calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Passando a matriz para a notação de determinante, temos

$\det A=\begin{vmatrix}2&-2\\2&4\\\end{vmatrix}$

Aplique a regra de Sarrus

$\det A=2\cdot 4-(-2)\cdot2$

Multiplique os valores

$\det A=8+4$

Some os valores

$\det A=12$

Dessa forma, encontramos o valor que buscávamos.