Question

Dada a matriz A abaixo, o determinante da matriz kA é igual a: [onde k é uma constante real]

a) 8k^3
b) 5k^3
c) k
d) k^2
e) 40

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{b)~5k^3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos o determinante da matriz $kA$, tal que $k$ é uma constante e $A=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{bmatrix}$, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

O determinante do produto entre uma constante e uma matriz de ordem $m$ é dada pela expressão:

$\det(k\cdot A)=k^m\cdot\det A$.

Dessa forma, veja que a matriz $A$ é de ordem $3$, logo teremos:

$\det\left(k\cdot\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{bmatrix}\right)=k^3\cdot\begin{vmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{vmatrix}$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos

$k^3\cdot\left|\begin{matrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}2&1\\1&1\\0&1\end{matrix}\right.$

Aplique a regra de Sarrus:

$k^3\cdot(2\cdot1\cdot4+1\cdot1\cdot0+3\cdot1\cdot1-(1\cdot1\cdot4+2\cdot1\cdot1+3\cdot1\cdot0))$

Multiplique e some os valores

$k^3\cdot(8+3-(4+2))\\\\\\\ k^3 \cdot(11-6)\\\\\\ 5k^3$

Este é o determinante da matriz $kA$ e é a resposta contida na letra b).