Question

Dada a matriz
1 x x² x³+yzw
1 y y² y³+xzw
1 z z² z³+xyw
1 w w² w³+xyz
onde xyzw=0, sendo det (A) seu determinante é correto afirmar que:
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Answer 1

Vou dar algumas orientações de como realizar esse tipo de teste. Vou pular um pouco dos cálculos pois a questão é longa. Ok? Vamos lá:
Primeiramente
O determinante de uma matriz é igual o determinante da transposta.
Logo a primeira coisa a se fazer é obter a transposta da matriz original que é

1 1 1 1
x y z w
x² y² z² w²
x³+yzw y³+xzw z³+xyw w³+xyz

Podemos escrever um determinante como a soma de outros dois, escolhendo uma linha ou coluna, decompondo cada um de seus elementos em uma soma e mantendo as demais linhas ou colunas paralelas constantes.
Vou utilizar essa propriedade na última linha:

1 1 1 1
x y z w
x² y² z² w²
x³ y³ z³ w³


+

1 1 1 1
x y z w
x² y² z² w²
yzw xzw xyw xyz

Como podemos observar o determinante da primeira matriz desmembrada é o determinante de vandermonde e é dado pelo produto das diferenças entre os elementos
(w-z).(w-y).(w-x).(z-y).(z-x).(y-x)
Agora, iremos manipular a segunda matriz desmembrada.
Primeiramente iremos transpor ela, pela propriedade que o determinante de uma matriz é igual a sua transposta.
E em seguida iremos multiplicar a primeira linha por x, a segunda por y, a terceira por z e a quarta por w e fora do determinante iremos escrever o fator (1/xyzw) para manter a igualdade. Aqui existe um ponto importante xyzw≠0

x x² x³ xyzw
y y² y³ xyzw
z z² z³ xyzw
w w² w³ xyzw

Operando mais um pouco, manteremos a primeira linha, e substituiremos a linha 2 pela linha 2 - linha 1, substituiremos a linha 3 pela linha 3 - linha 2, substituiremos a linha 4 pela linha 4 - linha 3. E notamos que na quarta coluna temos o elemento a14=xyzw e os demais iguais a zero. Portanto
Vamos aplicar o teorema de Laplace na primeira linha e quarta coluna, e teremos:
(1/xyzw).xyzw.(-1)^5.A1,4 = -A1,4
Após usar Sarrus para calcular o cofator A1,4 obtemos o mesmo valor do determinante de vandermonde.
Logo, concluímos que o determinante da matriz original é igual a zero.
É uma ótima questão porém muito trabalhosa. Faça bons estudos e obrigado pela atenção.