Question

Dada a hipérbole x^2-4y^2+16=0 determine

a^2 = 4 → a = 2 b
2 = 16 → b = 4

A)Os vértices.
A1(0, -2) e A2(0, 2) ou A(0, ±2)

B) os focos

c2=a^2+b^2 c^2 = 4 + 16 c=√20=2√5^

Focos: F1(0, -2√5) e F2(0,2√5)

c) A excentricidade.

e = c/a = 2√5/2=√5

d) As equações das assíntotas.

y=1/2 x pois: (a/b=2/4=1/2)

e) esboce um grafico

Answer 1

Eis a equação da hipérbole apresentada na questao:

X² - 4Y² + 16 = 0

Para obtermos o a equação reduzida devemos mover o 16 (termo independente) para o segundo membro e dividir toda a expressao por 16 para assim obter o 1 no segundo membro

X² - 4Y² = - 16     (÷ 16)

X²/16 - 4Y²/16 = - 16/16

X²/16 - Y²/4 = - 1     o segundo membro ficou negativo, mas tem que ser positivo - de acordo com a eq. reduzida da hipérbole. Multiplicando tudo por -1

- X²/16 + Y²/4 = 1   rearrumando

Y²/4 - X²/16 = 1         i

temos 2 possíveis equações reduzidas: focos no eixo X ou no eixo Y:

foco no eixo X:

X²/a² - Y²/b² = 1       ii

foco no eixo Y:

Y²/a² - X²/b² = 1       iii

comparando i (eq. reduzida) com ii e iii concluímos que a hipérbole do enunciado está com o foco no eixo Y

Y²/4 - X²/16 = 1    ⇔    Y²/a² - X²/b² = 1

Para os valores de a e b, temos a² = 4  e  b² = 16, logo

a² = 4 ⇒ a = √4 ⇒ a = 2

b² = 16 ⇒ b = √16 ⇒ b = 4

A) os vértices

Para hipérbole com foco em Y, as coordenadas do Vértice será:

V₁(0; a) e V₂(0; -a)

Como a = 2, entao

V₁(0; 2) e V₂(0; -2)

B) os focos

Precisamos encontrar o valor de c para daí aplicar nas coordenadas do foco. Como essa Hipérbole possui o eixo Y como eixo real, entao as coordenadas do foco será:

F₁(0; c) e F₂(0; -c)

Para o valor de c temos a expressao

c² = a² + b²     colocando os valores de a e b

c² = 2² + 4²

c² = 4 + 16

c² = 20

c = √20    fatorando 20: 2² . 5

c = √(2².5)

c = 2√5

Sendo assim, eis as coordenadas do foco:

F₁(0; c) e F₂(0; -c)

F₁(0; 2√5) e F₂(0; -2√5)

C) a excentricidade

A expressao da excentricidade é

e = c/a     substituindo os valores de c e a

e = 2√5 ÷ 2

e = √5

d) as assíntotas

A equacao das assíntotas cujo foco está no eixo Y, são:

y = ax/b  e  Y = - ax/b   substituindo os valores de a e b

y = 2x/4   e   y = - 2x/4

y = x/2   e   y = - x/2

e) gráfico = figura 2 em anexo