Question

Dada a hipérbole de equação 3y² 36y – 4x² 32x 8 = 0, determine o comprimento do eixo real, o comprimento do eixo imaginário, a distância focal e a excentricidade

Answer 1

Dada a hipérbole:

• o comprimento do eixo real é 4√3
• o comprimento do eixo imaginário é 6
• a distância focal é 2√21
• a excentricidade é √7/2

Hipérboles

Em uma hipérbole, temos as seguintes características:

• o valor de 2a é a medida do eixo real;
• o valor de 2b é a medida do eixo imaginário;
• o valor de 2c é a medida da distância focal;
• a, b e c estão relacionados por c² = a² + b²;
• a equação geral da hipérbole com centro na origem e focos no eixo x é x²/a² - y²/b² = 1;

A hipérbole da questão é dada por 3y² + 36y - 4x² + 32x + 8 = 0, completando os quadrados dessa equação:

3y² + 36y = 3·(y² + 12y) = 3·(y² + 2·6y + 6² - 6²)

3y² + 36y = 3·(y² + 12y + 36 - 36)

3y² + 36y = 3·(y + 6)² - 108

-4x² + 32x = -4·(x² + 8x) = -4·(x² + 2·4x + 4² - 4²)

-4x² + 32x = -4·(x² + 8x + 16 - 16)

-4x² + 32x = -4·(x + 4)² + 64

Logo, teremos a equação da hipérbole:

3·(y + 6)² - 108 - 4·(x + 4)² + 64 + 8 = 0

3·(y + 6)² - 4·(x + 4)² = 36

(y + 6)²/12 - (x + 4)²/9 = 1

Podemos ver que a² = 12 e b² = 9, logo:

c² = 12 + 9

c² = 21

c = √21

Como os focos estão no eixo y, teremos que o comprimento do eixo imaginário é:

b² = 9

b = 3

2b = 6

O comprimento do eixo real é:

a² = 12

a = 2√3

2a = 4√3

A distância focal é:

2c = 2√21

A excentricidade é:

c/a = √21/2√3

c/a = √7/2

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