Dada a função y = – x2 +4x – 6, determine:
a sua concavidade;
as raízes ou zeros da função;
as coordenadas do vértice (xv, yv);
o domínio e a imagem da função;
o gráfico da função.
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) concavidade virada para baixo
b) esta função ( y = - x² + 4x - 6 ) não tem zeros ( ou raízes )
c) Vértice ( 2 ; - 2)
d) Domínio são todos os números R ( reais )
As Imagens estão no intervalo ] - ∞ ; - 2 ]
e) Gráfico da função
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Dada a função y = - x² + 4 x - 6, determine:
a) a sua concavidade;
b) as raízes ou zeros da função;
c) as coordenadas do vértice (xv, yv);
d) o domínio e a imagem da função;
e) o gráfico da função.
Resolução:
Quando se estuda funções do segundo grau ( nela há um monómio com "x" elevado quadrado), é necessário , no início , recolher e organizar a informação dada pelo enunciado.
O gráfico de equações do 2º grau é uma parábola.
1 ª Etapa - Organização da informação
y = - x² + 4 x - 6 equação do tipo → y = a*x² + b* x + c
y = - 1 * x² + 4 x - 6
Escrever os coeficientes da equação que irão ser fundamentais para resolver os diversos pedidos a seguir.
a = - 1
b = 4
c = - 6
À custa dos coeficientes a, b e c determina-se o Δ ( lê-se delta) que é o binómio discriminante da Fórmula de Bhaskara para obter as soluções de cada equação do 2º grau.
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 4² - 4 * ( - 1 ) * - 6 = 16 - 24 = - 8 Δ = - 8
Este é um caso muito interessante das equações do 2º grau.
O Δ vem negativo , Δ = - 8 logo menor que zero ( Δ < 0 )
Quando assim acontece a equação do 2º grau não tem zeros.
Nunca o gráfico cruza ( interceta ) o eixo dos xx.
2ª Etapa - resolver os vários pedidos
a) a sua concavidade
O que determina a forma do gráfico é o sinal do "a" .
a = - 1 , este coeficiente é negativo faz com que a concavidade da parábola esteja virada para baixo
b) as raízes ou zeros da função
Para os determinar pode-se sempre usar a Fórmula de Bhaskara, que é
esta:
x = ( - b ± √Δ ) / (2*a)
Mas como se viu atrás o Δ é negativo, logo não há zeros nesta função
c) as coordenadas do vértice (xv, yv)
Existem duas fórmulas que dão diretamente as coordenadas do vértice da parábola
coordenada em x → - b / 2a
coordenada em y → - Δ / 4a
- b / 2a = - 4 / 2*( - 1 ) = - 4 / ( - 2) = 2
- Δ / 4a = - ( - 8 ) / 4*( - 1 ) = + 8 / (- 4 ) = - 2
Vértice ( 2 ; - 2)
d) o domínio e a imagem da função
Domínio
Se nada for dito em contrário, o domínio das funções do 2º grau é R
( todos os números reais) . O domínio lê-se no eixo dos xx
Imagem
A imagem é lida no eixo dos yy.
Como a função tem a concavidade virada para baixo, então o valor da imagem em y, do vértice, é máximo ( neste caso -2 )
Todos os outros valores, da função, em y são inferiores a -2, caminhando para - ∞
O conjunto das imagens é ] - ∞ ; - 2 ]
e) o gráfico da função.
Com os dados que recolhemos pode-se fazer, pelo menos ,um esboço
do gráfico .
Y
↑
|
|
|
| 2
--------------------------|--------|----------------------------------- → X
| |
- 2 ---------º V ( 2 ; - 2)
| º º
| º º
| º º
| º º
( 0 ; - 6) º º
º | º
º | º
º | º
º | º
º | º
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir (⇔) equivalente a
( < ) menor do que ( ∞ ) infinito
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.