Question

Dada a função y = 4x2 + 8x - 3 = 0, determine:
a) os zeros dessa função;
b) o vértice;
c) o valor máximo ou mínimo;
d) esboce o gráfico.

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que:

$\textstyle \sf \text { \sf a) \: \: S = \left \{ \dfrac{- 2 + \sqrt{7} }{2} ,\: \dfrac{-2-\sqrt{7} }{2} \right\} }$

b) V = {-1, -7 }

c) a = 4 > 0, yᵥ = −Δ/4a = −7, a função terá valor mínimo.

d) em anexo.

Função quadrática:

• $\textstyle \sf \sf y = f(x)= ax^{2} +bx +c$, a, b e c são reais, a ≠ 0;
• o gráfico é uma parábola;
• a > 0 o gráfico voltada para cima;
• a < 0 o gráfico voltada para baixo;
• o coeficiente c intercepta na ordenada y;
• se Δ < 0, não tem raiz reais, ou seja, não intercepta no eixo x;
• se Δ = 0 a função tem duas raiz reais e iguais, a parábola intercepta no eixo x em um ponto;
• se Δ > 0 tem duas raiz reais e diferente, ou seja, intercepta no eixo x em dois pontos.

Zeros da função:

O zero da função é fazer y ou f(x) = 0 e resolver a equação.

Coordenadas do Vértice:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_V = - \dfrac{b}{2a} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y_v = -\dfrac{\Delta }{4a} } }$

Sendo que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta = b^{2} -4ac } }$

Máximo ou mínimo:

• a > 0, a concavidade da função estará voltada para cima, ponto mínimo;
• a < 0,  a concavidade da função estará voltada para baixo, ponto máximo.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = 4x^{2} +8x-3 } }$

Solução:

a) os zeros dessa função;

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = 4x^{2} +8x-3 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 4x^{2} +8x-3 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta = b^{2} -4ac } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta = 8^{2} -4\cdot 4 \cdot (-3) } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta =64 +48 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \Delta = 112 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,8 \pm \sqrt{ 112 } }{2 \cdot 4}} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\,8 \pm \sqrt{ 112 } }{8}\Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{-\,8 + 4\sqrt{7} }{8} = \dfrac{- 2+\sqrt{7} }{2} \\\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{-\,8 - 4\sqrt{7} }{2} = \dfrac{- 2-\sqrt{7} }{2} \end{cases} } }$

b) o vértice;

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_V = - \dfrac{b}{2a} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_V = - \dfrac{8}{2\cdot 4} = - \dfrac{8}{8} = -\:1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y_v = -\dfrac{\Delta }{4a} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y_v = -\dfrac{112 }{4\cdot 4} = - \dfrac{112}{8} = -\:7 } }$

c) o valor máximo ou mínimo;

a = 4 > 0, a concavidade da função estará voltada para cima e  yᵥ = −Δ/4a = −7, a função terá valor mínimo.

d) esboce o gráfico.

Em anexo.

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