Question

dada a funçao real quadratica$<var> f(x)=-x^2+6.x+3</var>$. determinar o conjunto $<var>f^-^1(3)</var>$ 

Answer 1

A função inversa $<var>f^{-1}(x)</var>$ para uma função quadrática é obtida assim:

- Passamos todo mundo para um lado da equação e igualamos o outro a zero;

- Fazemos a formula de báskara como se fossemos resolvê-la normalmente;

- Teremos x1 e x2. Então trocaremos o x1 ou x2 por $<var>f^{-1}(x)</var>$ e o x por y

- Dessas duas expressões, usaremos as duas, a não ser que o domínio nos impeça.

 

Nesse caso do seu exercício o domínio não foi dado, então trabalharemos com o x1 e x2.

 

Aplicando essa explicação para o seu exercício:

 

 

$<var>f(x)=-x^{2}+6x+3</var>$

$<var>y=-x^{2}+6x+3</var>$

$<var>x^{2}-6x-3+y=0</var>$

 

Δ=$<var>b^{2}-4ac=36-4(y-3)=48-4y</var>$

 

$<var>x_{1,2}= \frac{-(-6)+-\sqrt{48-4y}}{2.1}</var>$

 

$<var>x_{1}=\frac{6+\sqrt{48-4y}}{2}</var>$

 

$<var>x_2=\frac{6-\sqrt{48-4y}}{2}</var>$

 

Pois bem. Agora você troca o x1 e x2 por $<var>f^{-1}</var>$ e troque o y pelo x.

Já temos a inversa! Basta agora trocar o x pelo valor desejado, que no caso é x=3.

 

Fazendo isso nas duas teremos que S={0,6}.