Question

Dada a função horaria de um MHS em unidade SI, x= 2 cos $( \frac{ \pi} {2} t + \frac{ \pi }{2} )$ :

a) determine a amplitude, a pulsação, a fase inicial, o período e a frequência do movimento

b) construa o gráfico da elongação x, em função do tempo t.

Answer 1

Em um movimento harmônico simples, a posição  x  do corpo em função do instante  t  pode ser descrita por uma equação na forma

    •   x(t) = A · cos(ωt + φ)          (i)


sendo

     •   A  a amplitude da oscilação;

     •   ω  a frequência angular do movimento (ou pulsação);

     •   φ  a fase inicial.


O período da oscilação é dado por

     T = 2π/ω          (ii)


e a frequência  f  do movimento é o inverso do período:

     f = 1/T = ω/(2π)          (iii)

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Para esta tarefa, temos

     $\mathsf{x(t)=2\,cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{\pi}{2}\right)\qquad (metros)}\\\\\\ \mathsf{x(t)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(t+1)\right]}$


Comparando com a equação  (i),  tiramos que

     •   A amplitude é  A = 2 m;

     •   A pulsação é  ω = π/2  rad/s;

     •   A fase inicial é  φ = π/2  rad.


Calculando o período:

     T = 2π/ω

     T = 2π/(π/2)

     T = 2π · 2/π

     T = 4 s         ✔


A frequência é o inverso do período:

     f = 1/T

     f = 1/4

     f = 0,25 Hz          ✔

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b)  Para esboçar o gráfico da elongação versus tempo, construímos uma tabela, fazendo o argumento do cosseno

     ωt + φ

variar em um período completo  (no caso aqui,  4 segundos)


Na prática, particionamos o período  T  em  4  partes iguais. Nesta tarefa, por exemplo, tomaremos passos de  T/4 = 1 s  após o primeiro instante em que a posição se anula.


Aqui, o argumento do cosseno é

     $\mathsf{\omega t+\varphi}\\\\ =\mathsf{\dfrac{\pi}{2}t+\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{\pi}{2}\cdot (t+1)}$


Achando a posição inicial:

•   Para  t = 0:

     $\mathsf{x(0)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(0+1)\right]}$
     $\mathsf{x(0)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\right]}\\\\\\ \mathsf{x(0)=2\cdot 0}\\\\ \mathsf{x(0)=0}$


Como já estamos partindo de uma posição nula, vamos analisar agora os valores  de  x  dando passos de comprimento  T/4 = 1 s:


•   Para  t = 0 + 1 = 1 s:

     $\mathsf{x(1)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(1+1)\right]}\\\\\\ \mathsf{x(1)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\cdot 2\right]}\\\\\\ \mathsf{x(1)=2\,cos[\pi]}\\\\ \mathsf{x(1)=2\cdot (-1)}\\\\ \mathsf{x(1)=-2~m}$


•   Para  t = 1 + 1 = 2 s:

     $\mathsf{x(2)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(2+1)\right]}\\\\\\ \mathsf{x(2)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\cdot 3\right]}\\\\\\ \mathsf{x(2)=2\,cos\!\left[\dfrac{3\pi}{2}\right]}\\\\ \mathsf{x(2)=2\cdot 0}\\\\ \mathsf{x(2)=0}$


•   Para  t = 2 + 1 = 3 s:

     $\mathsf{x(3)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(3+1)\right]}\\\\\\ \mathsf{x(3)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\cdot 4\right]}\\\\\\ \mathsf{x(3)=2\,cos[2\pi]}\\\\ \mathsf{x(3)=2\cdot 1}\\\\ \mathsf{x(3)=2~m}$


•   Para  t = 3 + 1 = 4 s:

     $\mathsf{x(4)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}(4+1)\right]}\\\\\\ \mathsf{x(4)=2\,cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}\cdot 5\right]}\\\\\\ \mathsf{x(4)=2\,cos\!\left[\dfrac{5\pi}{2}\right]}\\\\ \mathsf{x(4)=2\cdot 0}\\\\ \mathsf{x(4)=0}$

o que é esperado, pois como percorremos um período completo, voltamos ao mesmo valor da posição inicial,  e a função passa a ter o mesmo comportamento.  Um movimento harmônico simples é periódico.

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Resumindo, montamos a tabela seguinte, e plotamos os pontos  $\big(t,\,x(t)\big)$no plano:

     $\boxed{ \begin{array}{c|c|c} \mathsf{t}&\mathsf{\omega t+\varphi}&\mathsf{x(t)=A\,cos(\omega t+\varphi)}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{0}&\frac{\pi}{2}&\mathsf{0}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{1}&\pi&\mathsf{-2}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{2}&\frac{3\pi}{2}&\mathsf{0}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{3}&2\pi&\mathsf{2}\\ \!\!\!\!\textsf{---------}\!\!\!&\!\!\!\textsf{------------}\!\!\!&\!\!\textsf{--------------------------------}\!\!\!\!\\ \mathsf{4}&\frac{5\pi}{2}&\mathsf{0} \end{array} }$


O gráfico segue em anexo.


Bons estudos! :-)