Question

Dada a função f (x, y) = x2 + y2 , ou z = x2 + y2 , a curva de nível z = 4: a) É uma circunferência de raio 1. b) É uma elipse de centro em (0,0). c) É uma circunferência de raio 2 e centro (0,0). d) É uma circunferência de raio 4

Answer 1

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É dada uma função real a duas variáveis, cuja lei é

$\mathsf{f(x,\,y)=x^2+y^2}$


Deseja-se saber qual é a curva de nível $\mathsf{4}$ desta função, isto é, o conjunto de todos os pontos do plano nos quais $\mathsf{f(x,\,y)=4}:$

$\mathsf{f(x,\,y)=4}\\\\ \mathsf{x^2+y^2=4}\\\\ \mathsf{(x-0)^2+(y-0)^2=2^2\qquad\quad(i)}$


Comparemos $\mathsf{(i)}$ com a forma reduzida da equação de uma circuferência centrada em $\mathsf{C(x_C,\,y_C)},$ cujo raio é $\mathsf{r}:$

$\mathsf{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2\qquad\quad(ii)}$


Daqui, conclui-se que $\mathsf{(i)}$ representa uma circunferência com centro na origem $\mathsf{C(0,\,0)},$ e raio $\mathsf{r=2}.$


O valor de $\mathsf{f}$ calculado em qualquer ponto desta circunferência será igual a $\mathsf{4}.$


Resposta:   alternativa c) É uma circunferência de raio 2 e centro (0, 0).


Bons estudos! :-)


Tags:   curvas de nível função duas variáveis circunferência cálculo diferencial