Question

Dada a função f ( x , y ) = √ x 2 + y 2 , o gradiente de f no ponto P = ( 1 , 1 ) é

Answer 1

$gradf(1,1) = (\frac{1}{\sqrt{2} } , \frac{1}{\sqrt{2} } )$

Explicação passo-a-passo:

O vetor gradiente de determinada função é dado pelas derivadas parciais dela em relação a cada coordenada.

Logo,

$f(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2} }$

$grad f(x,y) = (\frac{df}{dx} , \frac{df}{dy} )$

$\frac{df}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} }}$

$\frac{df}{dy} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} }}$

Assim,

$grad f(x,y) = (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} } }, \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} } })$

Portanto,

$gradf(1,1) = (\frac{1}{\sqrt{2} } , \frac{1}{\sqrt{2} } )$

OBS: as derivadas parciais foram calculadas usando a Regra da Cadeia, com a função expressa da seguinte maneira:

$f(x,y) = (x^{2} +y^{2} )^{1/2}$

Foi feita a multiplicação da derivada da função exterior ($\frac{1}{2}$) em relação à interior ($x^{2} + y^{2}$) com a derivada da função interior em relação à respectiva coordenada x ou y.