Question

Dada a função f(x,y)=ln(x-2)+ √y-1, determine o seu domínio e represente-o graficamente.

Answer 1

Segue em anexo a representação do domínio de $f.$


Temos a seguinte função:

$f(x,\;y)=\mathrm{\ell n}(x-2)+\sqrt{y-1}$


$\bullet\;\;$ Restrições para o domínio de $f:$

O logaritmando (termo "dentro do logaritmo") só pode ser positivo:

$x-2>0~\Rightarrow~x>2~~~~~~\mathbf{(i)}$


O radicando (termo "dentro da raiz quadrada") não pode ser negativo:

$y-1\geq 0~\Rightarrow~y\geq 1~~~~~~\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Portanto, por $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ temos que o domínio de $f$ é o conjunto

$\mathrm{Dom}(f)=\left\{(x,\;y)\in\mathbb{R}^{2}\left|\;x>2~\text{ e }~y\geq 1\right.\right\}$


$\bullet\;\;$ Geometricamente, o domínio é formado por todos os pontos do plano que 

estão à direita da reta vertical $x=2\,,$ (excluindo os pontos da reta);

estão acima da reta horizontal $y=1\,,$ (incluindo os pontos da reta).


O ponto $(2,\;1)$ não pertence ao domínio de $f,$ pois não satisfaz $\mathbf{(i)}.$