Question

Dada a função: f(x) = x3 - 12x2 + 36x + 64, utilizando o estudo sobre ospontos críticos locais de uma função, podemos afirmar que o ponto demáximo local é dado pelas coordenadas: (Colocar o cálculo)Alternativa 1: ( 3; 91)Alternativa 2: ( 6; 48)Alternativa 3: ( 6; 64)Alternativa 4: ( 2;108)Alternativa 5: ( 2; 96)

Answer 1

Os pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é 0. Assim, vamos encontrá-los:

$f(x)=x^3-12x^2+36x+64\Longrightarrow\\\\ \text{Se f'(x)=0: } 3x^2-24x+36=0\Longrightarrow x^2-8x+12=0\\\\ x=\dfrac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot12}}{2\cdot1}=\dfrac{8\pm\sqrt{64-48}}{2}=\dfrac{8\pm4}{2}=4\pm2\\\\ x_1=6~~~~x_2=2$

Então:
Para x=2:
$f(2)=2^3-12\cdot2^2+36\cdot2+64=8-48+72+64=96$

Para x=6:
$f(6)=6^3-12\cdot6^2+36\cdot6+64=216-432+216+64=64$

Assim, os pontos críticos são (2, 96) e (6, 64).

Para descobrirmos se o ponto é de máximo ou mínimo, basta analisar o sinal da derivada da função "antes" e "depois" do ponto crítico. Se a derivada é positiva antes e negativa depois do ponto, há um máximo local. Se é negativa antes e positiva depois, há um mínimo local. Já vimos que $f'(x)=3x^2-24x+36$. Como o coeficiente de x² é positivo, a concavidade da parábola é para cima. Assim, f'(x) é negativa entre as raízes e positiva em x<2 e x>6. Dessa maneira, f'(x)>0 em x<2 e f'(x)<0 em x>2. Portanto, em x=2 (isto é, no ponto (2,96)) há ponto de máximo.

Resposta: Alternativa 5.