Question

Dada a função f(x)=(m^2-9)x^2+(m+3)x+m-3; calcule "m'' de modo que o grafico da função seja uma reta e f(x) seja crescente.

Answer 1

$f(x)=(m^2-9)x^2+(m+3)x+m-3$

A função que projeta uma reta no gráfico necessariamente deve ser do primeiro grau. Assim sendo, nesta função não deve haver nenhum termo elevado ao quadrado. Portanto, evidentemente, o primeiro coeficiente deve ser igual a 0:

$m^2-9=0\\\\a)\ m^2-9=0\longrightarrow{m}^2=9\longrightarrow{m}=\sqrt{9}\longrightarrow{m}=\pm3$

Desta forma, temos a seguinte função resultante:

$f(x)=(0)x^2+(m+3)x+m-3\qquad\qquad\qquad\because\ m^2-9=0\\\\f(x)=(m+3)x+m-3$

Note que agora a função é do primeiro grau.
Para que seja crescente, necessariamente o coeficiente angular deve ser positivo, isto é, maior que 0:

$m+3\ \textgreater \ 0\\\\b)\ m+3\ \textgreater \ 0\longrightarrow{m}\ \textgreater \ -3$


Pela condição dada em a), 'm' só pode ser -3 ou 3, e a condição de b) diz que 'm' deve ser maior que -3. Assim sendo, 'm' só pode ser igual a 3.

$a)\cap{b})=\{-3,\,3\}\ \ \cap\ \ ]\!\!-3,+\infty[\ \ =\{3\}\\\\\\\boxed{V=\{3\}}$