Question

Dada a função f(x)= fracão{2x+4}{x-3} para x ≠ 3, calcule:

a)f-¹(x)
b)f-¹(4)

Answer 1

Temos a função $f(x)=\frac{2x+4}{x-3}\text{\,, com }x \neq 3$. Assim, o domínio da função $f$ é o conjunto

$D\left(f)=\mathbb{R}-\{3\}$


$f^{-1}$ é a função inversa de $f$, de forma que 

$f\circ f^{-1}\left(x \right ) \right ] = f\left[f^{-1}\left(x \right ) \right ]=x$

Sendo assim, vamos tentar encontar uma inversa para $f$, caso exista.

$\text{a) }\;\;$ Chamemos $y=f^{-1}\left(x \right )$. Assim, devemos ter

$f \overbrace{\left(y \right )}^{f^{-1}\left(x \right )}=x\\ \\ \frac{2y+4}{y-3}=x\\ \\ 2y+4=x(y-3)\\ \\ 2y+4=xy-3x\\ \\ 2y-xy=-3x-4\\ \\ y\left(2-x \right )=-3x-4 \;\;\;\rightarrow \left[\times(-1) \right ]\\ \\ y\left(x-2 \right )=3x+4\\ \\ y=\frac{3x+4}{x-2}\text{\,, com }x \neq 2$

Substituindo de volta $y=f^{-1}\left(x \right )$, finalmente chegamos a

$\boxed{f^{-1}\left(x \right )=\frac{3x+4}{x-2}\text{\,, com }x \neq 2}$

Ou seja, a função inversa só existe para $x \neq 2$.

Como não foi definido um contradomínio para $f$, podemos definir que o contradomínio $CD\left(f \right)$ é igual ao conjunto imagem de $f$, para que a função $f$ possa assumir inversa. Assim, para garantir a existência de $f^{-1}$, temos

$CD\left(f \right )=Im(f)=D(f^{-1})=\mathbb{R}-\{2\}$


$\text{b) }\;\;f^{-1}\left(4 \right )$

$f^{-1}\left(4 \right )=\frac{3 \cdot \left(4 \right )+4}{\left(4 \right )-2}\\ \\ f^{-1}\left(4 \right )=\frac{12+4}{2}\\ \\ f^{-1}\left(4 \right )=\frac{16}{2} \Rightarrow \boxed{f^{-1}\left(4 \right )=8}$