Question

Dada a função f(x) Encontre: (todos os detalhes no anexo)

Answer 1

Se temos a função f, temos que primeiro analisar o seu domínio:

                               $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) = x - \frac{x^2}{6} -\frac{2}{3}\ln x \end{aligned}$

Veja que temos monômios, que não possuem restrições em seu domínio porém temos uma função ln, e a função log não está definida para x ≤ 0, logo o domínio da função é:

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}D = \left\{ x \in \mathbb{R}\ |\ x > 0\right\}\end{aligned} }$

Portanto

                                      $\Large\displaystyle\begin{aligned}f : D \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\end{aligned}$

Dito isso podemos começar a análise da função.

a)

Devemos sempre analisar a função em pontos em que ela não está definida e como ela se comporta no infinito.

Dito isso, um ponto interessante de analisar a função seria no ponto x = 0, pois ela não está definida, e quando ela vai para +∞.

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}&\lim_{x \to 0^{-}} x - \frac{x^2}{6} - \frac{2}{3}\ln x\\ \\&\lim_{x \to 0^{-}} x - \frac{1}{6}\lim_{x \to 0^{-}} x^2 -\frac{2}{3}\lim_{x \to 0^{-}}\ln x\\ \\&0 - \frac{1}{6}\cdot 0 - \frac{2}{3}-\infty \\ \\&\frac{2}{3}\infty \\ \\&\boxed{\lim_{x \to 0^{-}} x - \frac{x^2}{6} - \frac{2}{3}\ln x = +\infty}\end{aligned} }$

Agora para o infinito no eixo x:

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}&\lim_{x \to +\infty} x - \frac{x^2}{6} - \frac{2}{3}\ln x\\ \\&\lim_{x \to +\infty} x - \frac{1}{6}\lim_{x \to +\infty} x^2 -\frac{2}{3}\lim_{x \to +\infty}\ln x\\ \\&+\infty - \frac{1}{6}\cdot \infty - \frac{2}{3}+\infty \\ \\&-\infty \\ \\&\boxed{\lim_{x \to +\infty} x - \frac{x^2}{6} - \frac{2}{3}\ln x = -\infty}\end{aligned} }$

Portanto a função só tem uma assíntota vertical em x = 0.

b)

Para analisar os intervalos nos quais a função é crescente, temos que analisar o sinal de sua derivada, então vamos calcular a derivada de f:

                         $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) &= x - \frac{x^2}{6} -\frac{2}{3}\ln x \\ \\f'(x) &= 1 - \frac{x}{3} - \frac{2}{3x}\\ \\f'(x) &= 1 - \frac{x^2 + 2 }{3x}\\ \\f'(x) &= - \frac{x^2 - 3x+ 2 }{3x}\end{aligned}$

Lembrando que x não pode assumir valores menores ou iguais a 0.

Como podemos garanti que x > 0, temos que denominador é sempre positivo, e o numerador também será sempre positivo, ou seja, o quociente sempre será negativo.

• se f' > 0, função é crescente
• se f' < 0, função é negativa
• se f' = 0, ponto crítico

Como a função tem duas raízes e uma concavidade para baixo em x > 0, temos que o valor que a função f será crescente será entre suas raízes, e decrescente fora desse intervalo.

Note que se o numerador da função for 0, a função é zero, então achando as raízes do polinômio no numerador temos as raízes da função.

                                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}x^2 - 3x + 2 = 0\\ \\\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&\begin{cases}x_1 = 1\\ \\x_2 = 2\end{cases}\end{aligned}$

Logo:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&f \text{ \'e descrescente em } ]0, \ 1[ \ \cup \ ]2,\ +\infty[\\ \\&f \text{ \'e crescente em } ]1, 2 [ \end{aligned}$

c)

Todos os máximos e mínimos de uma função são pontos críticos, mas ser um ponto críticos não necessariamente implica que ele será máximo ou mínimo.

Definir um máximo ou mínimo local vai depender do intervalo [a, b], podendo os extremos do intervalo ser máximo ou mínimo também, então irei escolher o intervalo [1, 2], pois sei que ele terá um máximo e um mínimo (concide com os extremos do intervalo):

$\Large\displaystyle\begin{aligned}f(1) &= 1 - \frac{1}{6} - \frac{2}{3}\ln 1\\ \\f(1) &= \frac{5}{6} \\ \\f(2) &= 2 - \frac{4}{6} - \frac{2}{3}\ln 2\\ \\f(2) &= \frac{4-2\ln2}{3}\end{aligned}$

d)

Para analisar a concavidade da função e os pontos de inflexão temos que derivar a derivada, ou seja, a derifava de segunda ordem de f, e analisar seu sinal novamente, então:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}f'(x) = -\frac{x^2 - 3x + 2}{3x}\\ \\f''(x) = \frac{2-x^2}{3x^2}\\ \\\end{gathred}$

Obs: use a regra do quociente para derivar.

Para determinar a concavidade:

• se f'' > 0, concavidade para cima
• se f'' < 0, concavidade para baixo
• se f'' = 0, ponto de inflexão.

Como na derivada primeira, a função só está definida para x > 0, o denominador é estritamente positivo, porem o numerador pode ser negativo quando:

                                      $\Large\displaystyle\begin{aligned}2 - x^2 &< 0\\ \\x^2 &> 2\\ \\x &> \sqrt{2} \end{aligned}$

Portanto, depois de √2 a concavidade é para baixo, pois f é negativa, e para  0 < x < √2 a concavidade é para cima, consequentemente √2 é um ponto de inflexão.

Logo

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&f \text{ tem concavidade para cima em } ]0, \sqrt{2}[\\ \\&f \text{ tem concavidade para baixo em } ]\sqrt{2}, +\infty[ \end{aligned}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

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