Question

Dada a função f(x) do anexo, responda:

a. $\lim_{x \to \inft1+} f_ x$

b.$\lim_{x \to \inft1} f_x$

c.$\lim_{x \to \infty} f_x$

d.$\lim_{x \to -\infty} f_x$

e.$f(1)$

Answer 1

Para indicar o valor dos limites pedidos, basta analisar o gráfico fornecido.

a. $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x).$

Notamos que à medida que nos aproximamos de $1$ por valores maiores do que $1$, as imagens da função crescem sem limite para valores positivos, ou seja, tendem para $\infty$, donde:

$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \infty.$

b. $\lim\limits_{x \to 1} f(x).$

Notamos que à medida que nos aproximamos de $1$ por valores menores do que $1$, as imagens da função aproximam-se sucessivamente de $\frac{1}{2}$, ou seja, tendem para $\frac{1}{2}$, donde:

$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \dfrac{1}{2}.$

Como os limites laterais são diferentes, concluímos que:

$\lim\limits_{x \to 1} f(x) \textrm{ n\~{a}o existe.}$

c. $\lim\limits_{x \to \infty} f(x).$

Notamos que à medida que $x$ cresce sem limite para valores positivos, as imagens da função aproximam-se sucessivamente de $\frac{1}{2}$, ou seja, tendem para $\frac{1}{2}$, donde:

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \dfrac{1}{2}.$

d. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x).$

Notamos que à medida que $x$ cresce sem limite para valores negativos, as imagens da função crescem sem limite para valores negativos, ou seja, tendem para $-\infty$, donde:

$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.$

e. $f(1).$

Como em $x = 1$ temos uma «bola fechada» no gráfico de $f$ representando o ponto de coordenadas $\left(1, \frac{1}{2}\right)$, obtemos:

$f(1) = \dfrac{1}{2}.$