Question

dada a função f(x)= ax²+bx+10,qual o valor de a e b, respectivamente, sabendo que suas raízes são -2 e 5?

Answer 1

Método 1:
As raízes da função são os valores de x que tornam o valor da função nula (isto é, $f(x)=0$). Sabendo que o produto das raízes de uma equação do segundo grau da forma $ax^2+bx+c=0$ é dado por $\dfrac{c}{a}$, temos:

$x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\iff (-2)\cdot5=\dfrac{10}{a}\iff -10=\dfrac{10}{a}\iff \boxed{a=-1}$

Agora, sabendo que a soma das raízes de uma equação do segundo grau da mesma forma citada anteriormente é dada por $-\dfrac{b}{a}$. Assim:

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\iff (-2)+5=-\dfrac{b}{-1}\iff \boxed{b=3}$


Método 2:
Basta substituir os valores das raízes que foram fornecidos na função. Assim:

$f(-2)=0\iff a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+10=0\iff\\\\ 4a-2b=-10\iff 2a-b=-5 ~~~~(i)$

$f(5)=0\iff a\cdot(5)^2+b\cdot(5)+10=0\iff\\\\ 25a+5b=-10\iff 5a+b=-2 ~~~~(ii)$

Agora temos um sistema em a e b. Somando as equações (i) e (ii), temos:

$\displaystyle\left \{ {{2a-b=-5} \atop {5a+b=-2}} \right.+\\\\ ~~~~7a+0b=-7\iff \boxed{a=-1}$

Substituindo o valor de a obtido na equação (i), temos:

$2a-b=-5\iff 2(-1)-b=-5\iff\\\\ -2-b=-5\iff\boxed{b=3}$