dada a função f(x)=-2x²+9x, a) determine algebricamente os pontos nos quais fx=0 b) determine algebricamente as soluções da inequação f(x)=9 c) determine algebricamete o ponto minino ou maximo de f.
Soluções para a tarefa
Os pontos nos quais f(x) = 0 são x = 0 ou x = 9/2; Para f(x) ≤ 9 temos que x ≥ 3 ou x ≤ 3/2 e para f(x) ≥ 9 temos que 3/2 ≤ x ≤ 3; O ponto de máximo de f é (9/4,81/8).
a) Para determinarmos os pontos nos quais f(x) = 0, temos que igualar a função f(x) = -2x² + 9x a zero.
Sendo assim, temos que:
-2x² + 9x = 0.
Colocando o x em evidência:
x(-2x + 9) = 0.
Assim, temos duas opções:
x = 0 ou -2x + 9 = 0.
Portanto, os pontos são x = 0 e x = 9/2.
b) Para f(x) ≤ 9, temos que:
-2x² + 9x ≤ 9
-2x² + 9x - 9 ≤ 0
x ≥ 3 ou x ≤ 3/2.
Para f(x) ≥ 9, temos que:
-2x² + 9x ≥ 9
-2x² + 9x - 9 ≥ 0
3/2 ≤ x ≤ 3.
c) Como o termo que acompanha o x² é negativo, então temos que a parábola possui concavidade para baixo.
Isso quer dizer que f possui ponto de máximo.
O ponto de máximo é o vértice da parábola.
As coordenadas do vértice são: xv = -b/2a e yv = -Δ/4a.
Sendo assim, temos que:
xv = -9/2.(-2)
xv = 9/4
e
yv = -(9²)/4.(-2)
yv = 81/8.
Portanto, o ponto de máximo é (9/4,81/8).