Question

Dada a funçao f(x) = 2x² +4x , os valores reais de x para os quais y>0 =são :

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Edilaine, que a resolução é simples.
Pede-se os valores reais de "x" para os quais y > 0, considerando a seguinte função quadrática:

y = 2x² + 4x.

Antes de iniciar, veja que a função "y", da forma y = ax²+bx+c, com raízes iguais a x' e x'', terá a seguinte variação de sinais:

i) a função "y" terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para: x < x' ou para: x > x''.
ii) a função "y" terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para: x' < x < x''.
iii) a função "y" será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes, ou seja, para x = x' ou para x = x''.

Assim, tendo esses rápidos prolegômenos como parâmetro, então vamos  à análise dos sinais da função da sua questão, que é esta:

y = 2x² + 4x ---- para encontrar suas raízes, vamos igualar "y" a zero, ficando:
0 = 2x² + 4x --- ou, invertendo-se:
2x² + 4x = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos apenas com:

x² + 2x = 0 ---- agora vamos colocar "x" em evidência, ficando:
x*(x+2) = 0 --- veja que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores será nulo. Assim, teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
x+2 = 0 ---> x'' = - 2

Assim, como você viu, a função da sua questão tem as seguintes raízes (colocando-as na ordem crescente):

x' = -2
x'' = 0

Agora vamos estudar a variação de sinais da função "y" (vide o que deixamos escrito lá nos itens "i", "ii" e "iii" acima).

y = 2x² + 4x ....+ + + + + + + (-2)) - - - - - - - - - - (0) + + + + + + + + + + + + + +

Como queremos os valores que "x" para os quais y > 0, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no gráfico acima. Logo, os valores de "x" que fazem "y" ser maior do que zero serão:

x < -2, ou x > 0  ------- Esta é a resposta.

Note: se fôssemos estudar a variação de sinais na exata forma do que deixamos escrito nos itens "i", "ii" e "iii" acima, teríamos isto para a função da sua questão, que é: y = 2x² + 4x:

1) y > 0 para valores de "x" extrarraízes, ou seja: para: x < -2, ou x > 0.
2) y < 0 para valores de "x" intrarraízes, ou seja, para: -2 < x < 0.
3) y = 0 para valores de "x" iguais às raízes, ou seja, para: x = -2, ou x = 0.

A propósito, veja que, como queríamos que "y" fosse maior do que zero, então essa hipótese se enquadra no item "1" acima (valores de "x" extrarraízes)

É isso aí. .
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.