Question

Dada a função f(x) = 18x + 3x^2 - 4x^3, calcule:
a) As coordenadas de seus pontos críticos.
b) As coordenadas de seu ponto de inflexão.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de pontos críticos e inflexão de funções.

Dada a função $f(x) = 18x + 3x^2 - 4x^3$, devemos calcular:

a) As coordenadas de seus pontos críticos

O ponto crítico de uma função é aquele cuja inclinação da reta tangente à curva do gráfico desta função neste ponto é igual a zero. Assim, calculamos a derivada da função e a igualamos a zero:

$(f(x))'=(18x + 3x^2 - 4x^3)'$

Para calcular a derivada desta função, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $(c\cdot g(x))'=c\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(18x)' + (3x^2)'+(-4x^3)'$

Aplique a regra da constante

$f'(x)=18\cdot(x)' + 3\cdot(x^2)'-4\cdot(x^3)'$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$

$f'(x)=18\cdot1\cdot x^{1-1} + 3\cdot2\cdot x^{2-1}-4\cdot3\cdot x^{3-1}\\\\\\\ f'(x)=18+6x-12x^2$

Então, fazemos $f'(x)=0$

$18+6x-12x^2=0$

Dividimos ambos os lados da equação por um fator $-6$ e reorganizamos os termos

$2x^2-x-3=0$

Utilizamos a fórmula resolutiva para encontrar as soluções desta equação quadrática. Dada uma equação da forma $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, suas soluções são dadas por: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{4}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm5}{4}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{1-5}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1~~ \bold{ou}~~ x=\dfrac{1+5}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$

Estes são os pontos críticos da função. Substituindo este valor na equação teremos suas coordenadas:

$f(-1)=18\cdot(-1)+3\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)^3\\\\\\ f(-1)=-18+3+4\\\\\\ f(-1)=-11\\\\\\ f\left(\dfrac{3}{2}\right) =18\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)+3\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^3\\\\\\ f\left(\dfrac{3}{2}\right) =27+\dfrac{27}{4}-\dfrac{27}{2}\\\\\\ f\left(\dfrac{3}{2}\right) =\dfrac{81}{4}$

Dessa forma, os pontos críticos desta função são $(-1,\,-11)$ e $\left(\dfrac{3}{2},~\dfrac{81}{4}\right)$.

b) As coordenadas de seu ponto de inflexão.

O ponto de inflexão de uma função é aquele cujo comportamento da curvatura da função, ou em funções de uma variável, cuja concavidade muda.

Em geral, a concavidade de uma função muda em um ponto de um intervalo de crescimento e decrescimento, após um ponto de mínimo local ou antes de um máximo local e vice-versa.

Neste caso, temos dois pontos críticos da função, calculados anteriormente. Ao analisarmos o gráfico da função (imagem em anexo), observa-se que o ponto $(-1,\,-11)$ é de mínimo local e absoluto e o ponto $\left(\dfrac{3}{2},~\dfrac{81}{4}\right)$ é de máximo local e absoluto. O ponto de inflexão desta função é então o ponto médio entre estes pontos.

Lembre-se que as coordenadas do ponto médio de um segmento que une dois pontos de coordenadas $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ são calculadas pela fórmula: $x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ e $y_m=\dfrac{y_1+y_2}{2}$.

Assim, teremos:

$x_m=\dfrac{-1+\dfrac{3}{2}}{2}\\\\\\ x_m=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}\\\\\\ x_m=\dfrac{1}{4}\\\\\\\ y_m=\dfrac{-11+\dfrac{81}{4}}{2}\\\\\\ y_m=\dfrac{\dfrac{37}{4}}{2}\\\\\\ y_m=\dfrac{37}{8}$

As coordenadas do ponto de inflexão desta função são $\left(\dfrac{1}{4},~\dfrac{37}{8}\right)$.