Question

Dada a função f(2x - 1) = x² - x + 1
Qual o valor de f(x)?

Answer 1

Só precisa fazer uma mudança de variável, denotemos y=2x-1 logo

2x=y+1 então x=(y+1)/2 assim é só substituir


f(y)=f(2x-1)=x^2-x+1= ((y+1)/2)^2-(y+1)/2+1= (y^2+2y+1)/4-(y+1)/2+1

=(y^2+2y+1-2y-2+4)/4=(y^2+3)/4

Answer 2

$f(2x-1)=x^{2}-x+1~~~~~~\mathbf{(i)}$

Se notarmos bem, a expressão acima é de uma função composta.


Tomemos $g(x)=2x-1.$ Então, o que temos é

$f[g(x)]=x^{2}-x+1~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Sabemos que a função $g(x)=2x-1$ definida de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ é bijetora. Logo, $g$ admite inversa:

$(g\circ g^{-1})(x)=x\\\\ g[g^{-1}(x)]=x\\\\ 2\,g^{-1}(x)-1=x\\\\ 2\,g^{-1}(x)=x+1\\\\ \boxed{\begin{array}{c} g^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2} \end{array}}$


Sabendo que $x=(g\circ g^{-1})(x),$ temos que

$f(x)=f[(g\circ g^{-1})(x)]\\\\ f(x)=f[2\,g^{-1}(x)-1]~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Por $\mathbf{(i)},$ podemos reescrever o lado direito da igualdade $\mathbf{(iii)}$ acima:

$f(x)=[g^{-1}(x)]^{2}-g^{-1}(x)+1\\\\ f(x)=\left(\dfrac{x+1}{2} \right )^{\!\!2}-\dfrac{x+1}{2}+1\\\\\\ f(x)=\dfrac{(x+1)^{2}}{4}-\dfrac{x+1}{2}+1\\\\\\ f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+1}{4}-\dfrac{x+1}{2}+1\\\\\\ f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+1}{4}-\dfrac{2(x+1)}{4}+\dfrac{4}{4}\\\\\\ f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+1-2(x+1)+4}{4}\\\\\\ f(x)=\dfrac{x^{2}+\diagup\!\!\!\!\! 2x+1-\diagup\!\!\!\!\! 2x-2+4}{4}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} f(x)=\dfrac{x^{2}+3}{4} \end{array}}$