Question

Dada a função...Encontre...preciso urgente

Answer 1

Olá!

Temos

$f(x)=\dfrac{2-2^x}{\sin(3-3x)}$

então, ao tomarmos o limite

$\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\dfrac{2-2^x}{\sin(3-3x)}$

temos que, numa resolução direta, numerador e denominador vão a zero. Utilizando L'Hospital (derivando em cima e embaixo), temos:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{2-2^x}{\sin(3-3x)}=\lim_{x\to 1}\dfrac{-2^x\ln2}{-3\cos(3-3x)}= \dfrac{\ln2}{3}\lim_{x\to 1}\dfrac{2^x}{\cos(3-3x)}=\\ \\ \\ = \dfrac{\ln2}{3}\cdot \dfrac{2^1}{\cos 0}=\dfrac{2\ln2}{3}=\dfrac{\ln2^2}{3}=\dfrac{\ln 4}{3}.$

   Note que, para a derivada de   $2^x,$   usei a identidade   $a^b=e^{b\ln{a}},$    isto é,   $2^x=e^{x\ln2}.$   Ficando assim:

$\left(2^x\right)'=\left(e^{x\ln2}\right)'\;\overset{u=x\ln2}{=}\;\;\;\left(e^u\right)'=e^u\cdot u'(x)=e^{x\ln2}\cdot\ln2=2^x\ln2.$

   Portanto,

$\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\dfrac{\ln4}{3}.$

Bons estudos!