Question

Dada a função do gráfico em anexo

$f(x)=x^2-px+9$

Sabe-se que:

$\bullet\ O\ eixo\ das\ abscissas\ \'e\ tangente\ a\ par\'abola;$
$\bullet\ r\ \'e\ uma\ reta\ que\ intercepta\ a\ parab\'ola\ nos\ pontos\ A\ e\ V;$
$\bullet\ s\ \'e\ uma\ reta\ cuja\ fun\c{c}\~ao\ \'e\ dada\ por\ y= \dfrac{1}{2}x-4;e$
$\bullet\ r\perp{s}$

Encontre as coordenadas do ponto A.

Answer 1

Olá,

Como a parábola tangencia o eixo x, ela possui duas raízes iguais e o delta é igual a 0, logo:

$\Delta =0\\\\ 0=b^{2}-4ac\\\\ 0=b^{2}-4\cdot 1\cdot 9\\\\ 0=b^{2}-36\\\\ b^{2}=36\\\\ b= \sqrt{36}\\\\ b=\text{6 ou-6}$

Para o vértice ficar do lado direito do gráfico b= -6.

$Xv=\dfrac{-(-6)}{2\cdot 1}\\\\ Xv=\dfrac{6}{2}\\\\ Xv=3$

Coordenadas do vértice (3, 0)

Com esse ponto podemos descobrir a equação da reta r

ms·mr= -1

1/2·mr=-1

mr= -1·1/2

mr=-2

Equação da reta r:

f(x)= -2x+c

Como a reta passa pelo vértice:

0= -2·3+c

0= -6+c

c=6

Equação completa da reta r:

f(x)= -2x+6

Para descobrir os pontos de encontro da parábola com a reta, vamos igualar as duas equações:

$x^{2}-6x+9=-2x+6\\\\ x^{2}- \diagup\!\!\!\!6^{4}x+ \diagup\!\!\!\!9^{3}=- \diagup\!\!\!\ 2 \diagup\!\!\!\!x+ \diagup\!\!\!\!6\\\\ x^{2}-4x+3=0$

$S=\dfrac{-b}{a}\\\\ S=\dfrac{-(-4)}{1}\\\\ S=4\\\\ P=\dfrac{c}{a}\\\\ P=\dfrac{3}{1}\\\\ P=3\\\\ S={3,1}$

Como o x do vértice é 3, o outro ponto só pode ter x=1.

Colocando na equação da reta r:

y= -2x+6

y= -2·1+6

y= -2+6

y=4

Ou seja, o ponto c é (1, 4).

Até mais!

Answer 2

Equação possui duas raízes iguais, podemos escrever isso da seguinte maneira:

(x - r)² = x² - 2rx + r²

Onde r é a raiz da equação

Igualando os termos na equação:

x² - px + 9 = 0
x² - 2rx + r² = 0

r² = 9
r = √9
r = 3

p = 2r
p = 2.3
p = 6

x² - 6x + 9 = (x - 3)²

Encontrando o ponto de intersecção 'V' entre a parábola e a reta r

√(x - 3)² =√ 0
x - 3 = 0
x = 3

Encontrando equação da reta r, sabendo que o coeficiente angular da reta s é  $\frac{1}{2}$  onde chamaremos de $m_s$

$y=\frac{1}{2}x-4\\\\m_s=\frac{1}{2}\\\\m_r.m_s=-1\\\\m_r.\frac{1}{2}=-1\\\\m_r=-2$

$y=m(x-x_0)\\y=-2(x-3)\\y=-2x+6$

Com a equação da reta r já podemos encontrar o segundo ponto de tangência 'A' igualando as equações

-2x + 6 = x² - 6x + 9
x² - 4x + 3 = 0
x² - 4x + 3 = (x - 1) . (x - 3) 

Segundo ponto de tangência é quando x = 1, agora já podemos encontrar o valor de y

y = -2.1 + 6
y = 4


$\Large\boxed{A(1,4)}$

Agora vamos achar a área sombrada na figura usando integral

$\int\limits^3_1 {-2x+6-(x^2-6x+9)} \, dx \\\\\\ \int\limits^3_1 {-2x+6-x^2+6x-9~} \, dx \\\\\\ A=[\frac{-2x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3}+\frac{6x^2}{2}-9x]}^3_1\\\\A=[-(3)^2+6.3-\frac{3^3}{3}+3^2-9.3]-[-(1)^2+6.1-\frac{1^3}{3}+3.1^2-9.1]\\\\A=[-9+18-9+9-27]-[-1+6-\frac{1}{3}+3-9]\\\\A=[-18]-[-1-\frac{1}{3}]\\\\A=[-18]-[\frac{-4}{3}]\\\\A=\frac{-54+4}{3}\\\\A=|-\frac{50}{3}|\\\\A=\frac{50}{3}~u^2$