Question

Dada a função, determine as derivadas parciais de segunda ordem

Answer 1

As derivadas parciais de segunda ordem são:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) &= -60x^{2} -18xy + 12y^2\\ \\\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) &= 12x^2 \\ \\\frac{\partial^2}{\partial y \partial x}f(x,y) &=\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) = -9x^2-24xy -4\end{aligned}$

Para calcular derivadas parciais devemos considerar que as variáveis que não estão sendo derivadas sejam constantes, ou seja, aplicamos as regras de derivação nelas como se fosse constantes, dito isso vamos ao exercício, temos 4 derivadas parciais de segunda ordem:

       $\Large\displaystyle\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,\, y), \, \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,\, y),\, \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,\, y)\, \text{ e }\, \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}f(x,\, y)\end{aligned}$

Nossa função é:

            $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x,y) = x^4 -3x^3y + 6x^2y^2 - 4xy - 6x^4 + 2\end{aligned}$

Podemos juntar um termo aqui, mas irei fazer tudo direto, não será tão diferente, então:

$\displaystyle\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) &= (4\cdot 3)x^{4-2} -3(3\cdot 2)x^{3-2}y + 6(2)x^{2-2}y^2 - 4y^3 - 6 (4\cdot 3)x^{4-2}\\ \\\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) &= 12x^{2} -18xy + 12y^2 - 72x^{2}\\ \\\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) &= -60x^{2} -18xy + 12y^2\\ \\\end{aligned}$

Agora para a derivada de segunda ordem por y:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) &= 6(2)x^2y^{2-2}\\ \\\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) &= 12x^2 \\ \\\end{aligned}$

Agora para calcular a de segunda ordem mista temos que derivar uma vez para cada variável, logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) &= -5x^4 -3x^3y + 6x^2y^2 - 4xy + 2\\ \\\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) &= -20x^3 -9x^2y + 12xy^2 - 4y\\ \\\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y) &= -9x^2 + 24xy - 4\\ \\\end{aligned}$

E para a última derivada parcial:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) &= -5x^4 -3x^3y + 6x^2y^2 - 4xy + 2\\ \\\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) &= -3x^3 + 12x^2y - 4x\\ \\\frac{\partial^2}{\partial y \partial x}f(x,y) &= -9x^2-24xy -4 \\ \\\end{aligned}$

Note que as parciais mistas deram iguais, nem sempre isso é verdade, existem exceções a você pode verificar a condição de igualdade das derivadas parciais mistas pesquisando sobre Teorema de Clairaut-Schwarz

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

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