dada a fução f(x)=0,5x³ + x² -12x
a) determine a derivada primeira e descreva os intervalos de crescimento, decrescimento e ponto critico (maximo ou minimo)
b) determine a derivada segunda e descreva os intervalos que a função apresenta concavidade para baixo e para cima e os pontos criticos de inflexão
c) esboce o grafico da fuçao a partir dos resultados obtidos nos itens 1 e 2 e destaque os pontos importantes ( zero da função, ponto criticos e pontos de inflexão)
Soluções para a tarefa
Respondido por
10
Olá, Tocam2011.
f(x) = 0,5x³ + x² - 12x
a) A primeira derivada desta função é dada por:
f '(x) = 3 . 0,5x² + 2x - 12 = 1,5x² + 2x - 12
f '(x) é, portanto, uma parábola com a concavidade voltada para cima cujas raízes são:
f '(x) = 1,5x² + 2x - 12 = 0 ⇔ 3x² + 4x - 24 = 0
Por Bhaskara: Δ = 16 + 288 = 304 ⇒ √Δ ≈ 17,43
Como f '(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima, temos que:
1) Se x < -3,571, f '(x) > 0, ou seja, a função é crescente;
2) Se -3,571 < x < 2,238, f '(x) < 0, ou seja, a função é decrescente;
3) Se x > 2,238, f '(x) > 0, ou seja, a função é crescente.
Os pontos críticos da função são exatamente as raízes de f '(x), pois a partir deles a primeira derivada muda de sinal, ou seja, a curva inverte seu sentido de crescimento ou decrescimento. Podem ser mínimos ou máximos locais, a depender do sentido da concavidade da curva neste ponto, ou seja, o sinal da segunda derivada.
b) A segunda derivada é dada por:
f "(x) = 3x + 2 ⇒ f "(x) = 0 ⇔ 3x + 2 = 0 ⇔ x =
No ponto onde a segunda derivada se anula, x = , temos um ponto de inflexão.
Temos então que:
1) Se x < , f "(x) < 0, ou seja, a concavidade da curva é para baixo;
2) Se x = , f "(x) = 0, ou seja, a curva atinge um ponto de inflexão, onde a concavidade se altera;
3) Se x > , f "(x) > 0, ou seja, a concavidade da curva é para cima.
c) Esboço do gráfico:
Ver gráfico em anexo.
f(x) = 0,5x³ + x² - 12x
a) A primeira derivada desta função é dada por:
f '(x) = 3 . 0,5x² + 2x - 12 = 1,5x² + 2x - 12
f '(x) é, portanto, uma parábola com a concavidade voltada para cima cujas raízes são:
f '(x) = 1,5x² + 2x - 12 = 0 ⇔ 3x² + 4x - 24 = 0
Por Bhaskara: Δ = 16 + 288 = 304 ⇒ √Δ ≈ 17,43
Como f '(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima, temos que:
1) Se x < -3,571, f '(x) > 0, ou seja, a função é crescente;
2) Se -3,571 < x < 2,238, f '(x) < 0, ou seja, a função é decrescente;
3) Se x > 2,238, f '(x) > 0, ou seja, a função é crescente.
Os pontos críticos da função são exatamente as raízes de f '(x), pois a partir deles a primeira derivada muda de sinal, ou seja, a curva inverte seu sentido de crescimento ou decrescimento. Podem ser mínimos ou máximos locais, a depender do sentido da concavidade da curva neste ponto, ou seja, o sinal da segunda derivada.
b) A segunda derivada é dada por:
f "(x) = 3x + 2 ⇒ f "(x) = 0 ⇔ 3x + 2 = 0 ⇔ x =
No ponto onde a segunda derivada se anula, x = , temos um ponto de inflexão.
Temos então que:
1) Se x < , f "(x) < 0, ou seja, a concavidade da curva é para baixo;
2) Se x = , f "(x) = 0, ou seja, a curva atinge um ponto de inflexão, onde a concavidade se altera;
3) Se x > , f "(x) > 0, ou seja, a concavidade da curva é para cima.
c) Esboço do gráfico:
Ver gráfico em anexo.
Anexos:
sarithaazevedo:
Celio mandei a atividade com essas respostas e a tutora falou que: o gráfico está incorreto, você precisa localizar cinco pontos: mínimo e máximo (através da derivada primeira ex. 1), inflexão (através da derivada segunda ex. 2) e os zeros da função.
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