Question

dada a fução f(x)=0,5x³ + x² -12x

 

a) determine a derivada primeira e descreva os intervalos de crescimento, decrescimento e ponto critico (maximo ou minimo)

 

b) determine a derivada segunda e descreva os intervalos que a função apresenta concavidade para baixo e para cima e os pontos criticos de inflexão

 

 

c) esboce o grafico da fuçao a partir dos resultados obtidos nos itens 1 e 2 e destaque os pontos importantes ( zero da função, ponto criticos e pontos de inflexão)

Answer 1

Olá, Tocam2011.

f(x) = 0,5x³ + x² - 12x


a) A primeira derivada desta função é dada por:

f '(x) = 3 . 0,5x² + 2x - 12 = 1,5x² + 2x - 12

f '(x) é, portanto, uma parábola com a concavidade voltada para cima cujas raízes são:

f '(x) = 1,5x² + 2x - 12 = 0 ⇔ 3x² + 4x - 24 = 0

Por Bhaskara: Δ = 16 + 288 = 304 ⇒ √Δ ≈ 17,43

$x=\frac{-4\pm17,43}{6}\Rightarrow x_1\approx2,238\text{ ou }x_2=\approx-3,571$

Como f '(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima, temos que:

1) Se x < -3,571, f '(x) > 0, ou seja, a função é crescente;

2) Se -3,571 < x < 2,238, f '(x) < 0, ou seja, a função é decrescente;

3) Se x > 2,238, f '(x) > 0, ou seja, a função é crescente.

Os pontos críticos da função são exatamente as raízes de f '(x), pois a partir deles a primeira derivada muda de sinal, ou seja, a curva inverte seu sentido de crescimento ou decrescimento. Podem ser mínimos ou máximos locais, a depender do sentido da concavidade da curva neste ponto, ou seja, o sinal da segunda derivada.


b) A segunda derivada é dada por:

f "(x) = 3x + 2 ⇒ f "(x) = 0 ⇔ 3x + 2 = 0 ⇔ x = $-\frac23$

No ponto onde a segunda derivada se anula, x = $-\frac23$, temos um ponto de inflexão.
Temos então que:

1) Se x < $-\frac23$, f "(x) < 0, ou seja, a concavidade da curva é para baixo;

2) Se x = $-\frac23$, f "(x) = 0, ou seja, a curva atinge um ponto de inflexão, onde a concavidade se altera;

3) Se x > $-\frac23$, f "(x) > 0, ou seja, a concavidade da curva é para cima. 


c) Esboço do gráfico:

Ver gráfico em anexo.