Question

Dada a equação x2 + 25y2 = 100, mostre que d2y /dx2 = −4 /25y^3 .

Answer 1

É dada a equação:

$x^2+25y^2=100$

Isolando o termo em $y$:

$25y^2=100-x^2\\\\ y^2=\dfrac{1}{25}(100-x^2)\\\\ y^2=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{25}x^2$

Derivando toda a equação em relação a $x$:

$y^2=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{25}x^2\\\\ \dfrac{d}{dx}(y^2)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{25}x^2\right)\\\\ 2y\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{25}x^2\right)\\\\ 2yy'=\dfrac{2x}{25}\\\\ yy'=-\dfrac{x}{25}~~~(i)\\\\ y'=-\dfrac{x}{25y}~~~(ii)$

Derivando toda a equação (i) em relação a $x$:

$\dfrac{d}{dx}(yy')=\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{x}{25}\right)\\\\ \dfrac{d}{dx}(y)\cdot y'+y\cdot\dfrac{d}{dx}(y')=-\dfrac{1}{25}\dfrac{d}{dx}(x)\\\\ (y')^2+yy''=-\dfrac{1}{25}\\\\ yy''=\dfrac{1}{25}-(y')^2\\\\ y''=-\dfrac{1}{25y}-\dfrac{(y')^2}{y}$

Substituindo acima o que foi obtido em (ii):

$y''=-\dfrac{1}{25y}-\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{x}{25y}\right)^2\\\\ y''=-\dfrac{1}{25y}-\dfrac{x^2}{625y^3}\\\\ y''=-\dfrac{25y^2+x^2}{625y^3}$

Mas, pela equação inicial dada no enunciado, $x^2+25y^2=100$. Então:

$y''=-\dfrac{25y^2+x^2}{625y^3}\\\ y''=-\dfrac{100}{625y^3}\\\\ \boxed{y''=-\dfrac{4}{25y^3}}~~~~\blacksquare$