dada a equaçao polinomial 2x3-4x2+3x-1=0,de raizes a,b,c,calcule o valor de: a) 1/ab+ 1/ac+ 1/bc b) a -1 +b -1 +c -1 c)a/bc + b/ca + c/ab
Soluções para a tarefa
Veja, Juliegomes, que a resolução é simples,porém um pouco trabalhosa.
Tem-se: dada a equação polinomial 2x³ - 4x² + 3x - 1 = 0, de raízes iguais a "a", "b" e "c", calcule o valor de:
a) 1/ab + 1/ac + 1/bc . (I)
b) a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ . (II)
c) a/bc + b/ac + c/ab . (III)
Bem, agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Antes de mais nada veja que a equação do 3º grau, da forma:
ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x'' e x''' tem as seguintes relações (relações de Girard):
x' + x'' + x''' = - b/a
x'.x'' + x'.x''' + x''.x''' = c/a
x'.x''.x''' = -d/a
ii) Portanto, tendo as relações de Girard acima como parâmetro, então a equação da sua questão, que é: 2x³ - 4x² + 3x - 1 = 0, com raízes iguais a "a", "b" e "c" obedecerá a isto:
a + b + c = -(-4)/2
a + b + c = 4/2
a + b + c = 2 . (IV)
ab + ac + bc = 3/2 . (V)
abc = -(-1)/2
abc = 1/2 . (VI)
iii) Agora vamos trabalhar com cada uma das expressões iniciais [com a (I), com a (II) e com a (III)].
iii.a) Iniciando com a expressão (I), temos:
1/ab + 1/ac + 1/bc ---- mmc = abc. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador. Assim:
1/ab + 1/ac + 1/bc = (c*1 + b*1 + a*1)/abc
1/ab + 1/ac + 1/bc = (c + b + a)/abc ----- note que a ordem das parcelas não altera a soma. Então, no numerador acima, vamos colocar as letras em ordem crescente, com o que ficaremos assim:
1/ab + 1/ac + 1/bc = (a + b + c)/abc
Agora veja: já vimos, conforme a expressão (IV), que "a+b+c = 2", e que, conforme a expressão (VI), que "abc = 1/2".
Então é só fazer as devidas substituições na expressão aí de cima e encontraremos o valor de "1/ab + 1/ac + 1/bc". Ou seja:
1/ab + 1/ac + 1/bc = 2/(1/2) ----- como "1/2 = 0,5", teremos:
1/ab + 1/ac + 1/bc = 2/0,5 ------- note que esta divisão dá exatamente igual a 4. Logo:
1/ab + 1/ac + 1/bc = 4 <---- Esta é a resposta para a questão do item "a".
iii.b) Agora vamos para a expressão (II), que é esta: a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ (veja que k⁻ⁿ = 1/kⁿ). Então ficaremos assim:
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = 1/a + 1/b + 1/c ------ mmc = abc. Assim, utilizando-o, teremos:
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (bc*1 + ac*1 + ab*1)/abc
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (bc + ac + ab)/abc ----- vamos ordenar o numerador (lembre-se: a ordem das parcelas não altera a soma):
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (ab + ac + bc)/abc .
Agora veja: conforme a expressão (V) temos que "ab+ac+bc = 3/2" e, conforme a expressão (VI), temos que "abc = 1/2". Assim, fazendo as devidas substituições aí em cima, teremos:
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (3/2)/(1/2) ---- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (3/2)*(2/1)
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = 3*2/2*1
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = 6/2
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = 3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".
iii.c) Finalmente, vamos trabalhar com a expressão (III), que é esta:
a/bc + b/ac + c/ab ----- mmc = abc. Assim, ficaremos:
a/bc + b/ac + c/ab = (a*a + b*b + c*c)/abc
a/bc + b/ac + c/ab = (a² + b² + c²)/abc . (VII)
Note: pelo fato de termos encontrado a forma de escrita da expressão (VII) acima, vamos fazer um ligeiro trabalho na expressão (IV), que é esta:
a + b + c = 2 ----- vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:
(a + b + c)² = 2² ----- desenvolvendo, ficaremos com:
a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = 4 ---- vamos colocar "2" em evidência no 1º membro, ficando assim:
a² + b² + c² + 2*(ab + ac + bc) = 4
Note que "ab+ac+bc = "3/2" conforme a expressão (V). Assim, substituindo, teremos:
a² + b² + c² + 2*(3/2) = 4
a² + b² + c² + 2*3/2 = 4
a² + b² + c² + 6/2 = 4
a² + b² + c² + 3 = 4 ---- passando "3" para o segundo membro, temos:
a² + b² + c² = 4-3
a² + b² + c² = 1 . (VIII)
Então vamos na expressão (VII) e, nela, substituiremos "a²+b²+c²" por "1".
A expressão (VII) é esta:
a/bc + b/ac + c/ab = (a² + b² + c²)/abc ---- substituindo-se "a²+b²+c²" por "1" (conforme visto acima na expressão "VIII") e substituindo-se "abc" por "1/2", conforme visto na expressão (VI), teremos:
a/bc + b/ac + c/ab = (1)/(1/2) ----- como "1/2 = 0,5", teremos:
a/bc + b/ac + c/ab = 1/0,5 ---- note que esta divisão dá "2". Assim:
a/bc + b/ac + c/ab = 2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Vamos lá.
Veja, Juliegomes, que a resolução é simples,porém um pouco trabalhosa.
Tem-se: dada a equação polinomial 2x³ - 4x² + 3x - 1 = 0, de raízes iguais a "a", "b" e "c", calcule o valor de:
a) 1/ab + 1/ac + 1/bc . (I)
b) a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ . (II)
c) a/bc + b/ac + c/ab . (III)
Bem, agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Antes de mais nada veja que a equação do 3º grau, da forma:
ax³ + bx² + cx + d = 0, com raízes iguais a x', x'' e x''' tem as seguintes relações (relações de Girard):
x' + x'' + x''' = - b/a
x'.x'' + x'.x''' + x''.x''' = c/a
x'.x''.x''' = -d/a
ii) Portanto, tendo as relações de Girard acima como parâmetro, então a equação da sua questão, que é: 2x³ - 4x² + 3x - 1 = 0, com raízes iguais a "a", "b" e "c" obedecerá a isto:
a + b + c = -(-4)/2
a + b + c = 4/2
a + b + c = 2 . (IV)
ab + ac + bc = 3/2 . (V)
abc = -(-1)/2
abc = 1/2 . (VI)
iii) Agora vamos trabalhar com cada uma das expressões iniciais [com a (I), com a (II) e com a (III)].
iii.a) Iniciando com a expressão (I), temos:
1/ab + 1/ac + 1/bc ---- mmc = abc. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador. Assim:
1/ab + 1/ac + 1/bc = (c*1 + b*1 + a*1)/abc
1/ab + 1/ac + 1/bc = (c + b + a)/abc ----- note que a ordem das parcelas não altera a soma. Então, no numerador acima, vamos colocar as letras em ordem crescente, com o que ficaremos assim:
1/ab + 1/ac + 1/bc = (a + b + c)/abc
Agora veja: já vimos, conforme a expressão (IV), que "a+b+c = 2", e que, conforme a expressão (VI), que "abc = 1/2".
Então é só fazer as devidas substituições na expressão aí de cima e encontraremos o valor de "1/ab + 1/ac + 1/bc". Ou seja:
1/ab + 1/ac + 1/bc = 2/(1/2) ----- como "1/2 = 0,5", teremos:
1/ab + 1/ac + 1/bc = 2/0,5 ------- note que esta divisão dá exatamente igual a 4. Logo:
1/ab + 1/ac + 1/bc = 4 <---- Esta é a resposta para a questão do item "a".
iii.b) Agora vamos para a expressão (II), que é esta: a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ (veja que k⁻ⁿ = 1/kⁿ). Então ficaremos assim:
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = 1/a + 1/b + 1/c ------ mmc = abc. Assim, utilizando-o, teremos:
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (bc*1 + ac*1 + ab*1)/abc
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (bc + ac + ab)/abc ----- vamos ordenar o numerador (lembre-se: a ordem das parcelas não altera a soma):
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (ab + ac + bc)/abc .
Agora veja: conforme a expressão (V) temos que "ab+ac+bc = 3/2" e, conforme a expressão (VI), temos que "abc = 1/2". Assim, fazendo as devidas substituições aí em cima, teremos:
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (3/2)/(1/2) ---- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = (3/2)*(2/1)
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = 3*2/2*1
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = 6/2
a⁻¹ + b⁻¹ + c⁻¹ = 3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".
iii.c) Finalmente, vamos trabalhar com a expressão (III), que é esta:
a/bc + b/ac + c/ab ----- mmc = abc. Assim, ficaremos:
a/bc + b/ac + c/ab = (a*a + b*b + c*c)/abc
a/bc + b/ac + c/ab = (a² + b² + c²)/abc . (VII)
Note: pelo fato de termos encontrado a forma de escrita da expressão (VII) acima, vamos fazer um ligeiro trabalho na expressão (IV), que é esta:
a + b + c = 2 ----- vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:
(a + b + c)² = 2² ----- desenvolvendo, ficaremos com:
a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = 4 ---- vamos colocar "2" em evidência no 1º membro, ficando assim:
a² + b² + c² + 2*(ab + ac + bc) = 4
Note que "ab+ac+bc = "3/2" conforme a expressão (V). Assim, substituindo, teremos:
a² + b² + c² + 2*(3/2) = 4
a² + b² + c² + 2*3/2 = 4
a² + b² + c² + 6/2 = 4
a² + b² + c² + 3 = 4 ---- passando "3" para o segundo membro, temos:
a² + b² + c² = 4-3
a² + b² + c² = 1 . (VIII)
Então vamos na expressão (VII) e, nela, substituiremos "a²+b²+c²" por "1".
A expressão (VII) é esta:
a/bc + b/ac + c/ab = (a² + b² + c²)/abc ---- substituindo-se "a²+b²+c²" por "1" (conforme visto acima na expressão "VIII") e substituindo-se "abc" por "1/2", conforme visto na expressão (VI), teremos:
a/bc + b/ac + c/ab = (1)/(1/2) ----- como "1/2 = 0,5", teremos:
a/bc + b/ac + c/ab = 1/0,5 ---- note que esta divisão dá "2". Assim:
a/bc + b/ac + c/ab = 2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
:)