Question

dada a equação geral da circunferência x2+y2-6x-4Y-12=0 , determine o seu raio e o seu centro

Answer 1

Seja a equação

$x^2 + y^2 -6x -4y-12=0$

Para que a equação anterior represente uma circunferência, esta deve seguir a forma geral

$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2=r^2$

onde xC e yC são as coordenadas do centro, e r é o raio. Vamos organizar a equação anterior para que ela se torne parecida com a forma geral.

$(x^2-6x + \ ? )+ ( y^2 -4y + \ ?)-12=0$

onde os ? representam números desconhecidos. As expressões e parênteses devem se tornar termos do tipo (x - a)². É fácil perceber que a primeira equação em parênteses é (x - 3)², e que a segunda equação é (y - 2)².

$(x-3)^2+(y-2)^2-12=9+4$

Tivemos que adicionar 9 e 4 do lado direito da equação para que a igualdade continue válida. Em seguida, passamos 12 para o lado direito e obtemos

$(x-3)^2 + (y-2)^2=13-12=1 \\ \therefore (x-3)^2 + (y-2)^2=1$

Eis, então, que obtemos a equação na forma desejada. O raio é igual a 1 e as coordenadas do centro são $(x_c, y_c ) = (3,2)$.