Question

Dada a equação do segundo grau.

ax^2 + bx + c = 0 a ≄ 0

Com a, b e c constantes. Resolva passo a passo em C sem utilizar Bhaskara.

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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Vamos usar um processo chamado de completar o quadrado.

Tomamos como base um trinômio m²+2mn+n² fatorando em (m+n)² e lembrando que nosso objetivo é obter o valor de x.

Temos ax²+bx+c=0 , isolando o   c deixamos só os termos que têm x no 1º membro ax²+bx=-c.

Para transformar ax² em quadrado perfeito multiplicamos a equação por 4a ,temos 4a²x²+4abx=-4ac  ou (2ax)²+2(2ax)b = -4ac   o primeiro membro sugere que b² completa o trinômio .

Ficamos com (2ax)²+2(2ax)b+b²=b²-4ac ou fatorando (2ax+b)²=b²-4ac  e  extraindo  a  raiz  quadrada  dos dois  membros 

temos  :  2ax+b=+-√(b²-4ac) ⇒ 2ax=-b+-√(b²-4ac)  ⇒ x=[ -b+-√(b²-4ac) ] / 2a

Ver detalhes no anexo.

Answer 2

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Tome uma equação do  2º  grau em  x  na sua forma geral:

     $\mathsf{ax^2+bx+c=0\qquad\quad com~~a\ne 0}$


Para evitar trabalhar com manipulação de frações, multiplique os dois lados da equação por  4a:

     $\mathsf{4a\cdot (ax^2+bx+c)=4a\cdot 0}\\\\ \mathsf{4a^2x^2+4abx+4ac=0}\\\\ \mathsf{4a^2x^2+4abx=-\,4ac}\\\\ \mathsf{(2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b=-\,4ac\qquad\quad (i)}}$


Agora, complete o trinômio quadrado no lado esquerdo de  (i), usando produtos notáveis:

     •   p² + 2pq + q² = (p + q)²

         ⇔   p² + 2pq = (p + q)² – q²          (ii)


Para  p = 2ax  e  q = b,  você tem

     (2ax)² + 2 · (2ax) · b = (2ax + b)² – b²


e a equação  (i)  fica

     $\mathsf{(2ax+b)^2-b^2=-\,4ac}\\\\ \mathsf{(2ax+b)^2=b^2-4ac}$


Tome a raiz quadrada dos dois lados, e isole  x:

     $\mathsf{2ax+b=\pm\,\sqrt{b^2-4ac}}\\\\ \mathsf{2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}$


e como  a ≠ 0,  você pode dividir os dois lados por  2a,  obtendo assim

     $\boxed{\begin{array}{c} \mathsf{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \end{array}}$   <————   esta é a resposta.


A fórmula acima fornece as soluções complexas da equação quadrática dada, e é conhecida como  fórmula de Bháskara.


Bons estudos! :-)