Question

Dada a equação 25x2-36y2-900=0, identifique essa cônica, esboce seu gráfico, obtenha seus focos e calcule sua excentricidade.

Answer 1

Temos a seguinte equação cônica:

$\boxed{\sf 25x {}^{2} - 36y {}^{2} - 900 = 0}$

Note que essa expressão não parece com nenhuma cônica, portanto vamos passar o 900 para o segundo membro e passar o mesmo dividindo por toda a equação.

$\sf 25 {x}^{2} - 36 {y}^{2} = 900 \\ \\ \sf \frac{25 {x}^{2} }{900} - \frac{36y {}^{2} }{900} = \frac{900}{900} \\ \\ \boxed{\sf \frac{x {}^{2} }{36} - \frac{y {}^{2} }{25} = 1}$

• Observe que essa equação é de uma hipérbole que que possuí o eixo real sobre o eixo (x), com isso podemos comprar os valores com a equação na sua forma padrão.

$\boxed {\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1}$

• Comparando:

$\sf a {}^{2} = 36 \\ \sf a = \sqrt{36} \\ \boxed{\sf a = 6} \\ \\ \sf b {}^{2} = 25 \\ \sf b = \sqrt{25} \\ \boxed{\sf b = 5}$

Para encontrar o valor do Foco (c), basta substituir na relação pitagórica.

$\sf c {}^{2} = a {}^{2} + b {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 6 {}^{2} + 5 {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 36 + 25 \\ \sf c {}^{2} = 61 \\ \boxed{\sf c = \sqrt{61} }$

A excentricidade de uma hipérbole, é. dada por

$\sf e = \frac{c}{a}$

Substituindo os dados:

$\boxed{ \sf e = \frac{ \sqrt{61} }{6} }$

Espero ter ajudado