Question

Dada a equação 16x² + (p + 3)x + (p - 40 = 0, DETERMINE p para que:
a) uma das raízes seja 1;
b) as raízes sejam simétricas;
c) as raízes sejam reais e iguais;
d) uma das raízes seja nula.

Preciso muito de ajuda!​

Answer 1

Os valores de p são: a) 21/2; b) p < -3 ou p > 40; c) Não é possível; d) 40.

Considere que x' e x'' são as duas raízes de uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0.

A soma das raízes é definida por:

• x' + x'' = -b/a.

O produto das raízes é igual a:

• x'.x'' = c/a

a) Vamos supor que x'' é igual a 1. Sendo assim, temos que:

x' + 1 = -(p + 3)/16 e x' = (p - 40)/16;

Substituindo o valor de x' na primeira equação, obtemos:

(p - 40)/16 + 1 = -(p + 3)/16

(p - 40)/16 + (p + 3)/16 = -1

(2p - 37)/16 = -1

2p - 37 = -16

2p = 21

p = 21/2.

b) Se as raízes são simétricas, então x'.x'' < 0.

Sendo assim:

-(p + 3)/16.(p - 40)/16 < 0

(p + 3)/16.(p - 40)/16 > 0

(p + 3).(p - 40) > 0

p < -3 ou p > 40.

c) Queremos que as raízes sejam reais e iguais. Então, o valor de delta tem que ser igual a zero, ou seja:

Δ = (p + 3)² - 4.16.(p - 40)

Δ = p² + 6p + 9 - 64p + 2560

Δ = p² - 58p + 2569

p² - 58p + 2569 = 0.

Essa equação não possui raízes reais. Logo, não é possível ter duas raízes reais e iguais.

d) Vamos supor que x'' = 0. Então:

x' = -(p + 3)/16 e x'.0 = (p - 40)/16.

Da segunda condição, temos que:

p - 40 = 0

p = 40.