Question

Dada a circunferência x² + y² +6x -4y -12 =0 encontre as medidas de raio e de centro.

Answer 1

Temos a seguinte equação geral de uma circunferência qualquer:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} + 6x - 4y -1 2 = 0$

Podemos encontrar o raio e a coordenada do centro de duas formas, a primeira é através de um macete e a segunda pelo método tradicional, farei pelo método tradicional, pois é sempre bom saber do cálculo com as propriedades e tals.

• É sabido que uma equação geral sem a atribuição de valores possui a seguinte expressão:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + K = 0$

Sendo que o "K" possui uma relação independente, dada por:

$\sf K = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2}$

Tendo feito essa listagem das fórmulas, vamos iniciar os cálculos. Primeiro vamos comparar cada termo da equação que temos, com a equação sem atribuição de valores.

$\sf \begin{cases} \sf - 2ax =6x \\ \sf a = \frac{ 6x}{ - 2x} \\ \sf a = - 3 \end{cases} \begin{cases} \sf - 2by = - 4y \\ \sf b = \frac{ - 4y}{ - 2y} \\ \sf b = 2 \end{cases}$

Com isso já achamos o centro da circunferência já que o mesmo é representado por $C(a,b)$, então o centro é: $\boxed{\sf C(-3,2)}$.

• Para finalizar devemos substituir esses valores na relação de "k" e encontrar o raio (r):

$\sf K = ( - 3) { }^{2} + 2 {}^{2} - r { }^{2} \\ \sf K = 9 + 4 - r {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf K = 13 - r {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pela relação da nossa equação, temos que "K" é igual a -12, então vamos substituir:

$\sf - 12 = 13 = - r {}^{2} \\ \sf - 12 - 13 = - r { }^{2} \\ \sf - 25 = - r {}^{2} .( - 1) \\ \sf r {}^{2} = 25 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf r = \sqrt{25} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ \sf r = 5 }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado